中学３年数学練習問題　図形の相似比・面積比・体積比の復習テスト

ＴＯＰ
＞
中学３年　数学　練習問題一覧
＞
『第５章　図形と相似』の復習テスト

勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

～　中学３年　数学　～

『第５章　図形と相似』の復習テスト

第５章　図形と相似

＜前：『第５章図形と相似』の復習テストの問題　　Ｌ３８- 円周角の定理の問題：次＞

$図形と相似$

【練習問題１】　　（参照　：　Lesson23　Lesson26 ）
右図の△ＡＢＣで、点Ａからひいた線分と辺ＢＣとの交点を点Ｐとし、点Ｐからひいた線分と辺ＡＣとの交点を点Ｑとする。
ＡＢ＝１６ｃｍ、ＢＣ＝１８ｃｍ、ＢＰ＝８ｃｍ、∠ＡＢＣ＝∠ＱＰＣのとき以下の質問に答えなさい。

［１］　△ＡＢＣと相似な三角形をすべて答えなさい。

　　　　　△ＡＢＣと△ＱＰＣにおいて、
　　　　　仮定より、
　　　　　∠ＡＢＣ＝∠ＱＰＣ　・・・①
　　　　　また、
　　　　　∠Ｃ＝∠Ｃ　・・・②
　　　　　①②より、
　　　　　△ＡＢＣ∽△ＱＰＣ

　　　　　△ＡＢＣと△ＰＢＡにおいて、
　　　　　ＡＢ：ＰＢ＝１２：８＝３：２　・・・③
　　　　　ＢＣ：ＢＡ＝１８：１２＝３：２　・・・④
　　　　　また、
　　　　　∠Ｂ＝∠Ｂ　・・・⑤
　　　　　③④⑤より、
　　　　　△ＡＢＣ∽△ＰＢＡ

　　　　≪答≫　△ＱＰＣ，△ＰＢＡ

［２］　ＡＰ：ＣＱを求めなさい。

　　　　［１］より、△ＰＢＡ∽△ＱＰＣなので、
　　　　ＡＰ：ＣＱ＝ＡＢ：ＣＢである。
　　　　値を代入すると、
　　　　１２：（１８－８）＝１２：１０＝６：５

　　　　≪答≫　６：５

［３］　ＰＱの長さを求めなさい。

　　　　［２］より、△ＰＢＡと△ＱＰＣの相似比は６：５なので、
　　　　６：５＝８：ＰＱ
　　　　ＰＱ＝２０３

　　　　≪※別の解き方≫
　　　　∠ＡＢＣ＝∠ＱＰＣより、ＡＢ∥ＱＰなので、
　　　　ＰＱ：ＢＡ＝ＣＰ：ＣＢ
　　　　ＰＱ：１２＝１０：１８
　　　　ＰＱ＝２０３

　　　　≪答≫　２０３ｃｍ

【練習問題２】　　（参照　：　Lesson24　Lesson25　Lesson26 ）
右図のｘ，ｙの値をそれぞれ求めなさい。

$図形と相似$

[１]　ＰＱ∥ＢＣ

　　　≪ｘを求める≫
　　　　ＡＱ：ＡＣ＝ＰＱ：ＢＣ
　　　　５：８＝ｘ：１２
　　　　ｘ＝１５２

　　　≪ｙを求める≫
　　　　ＡＱ：ＡＣ＝ＡＰ：ＡＢ
　　　　５：８＝ｙ：１０
　　　　ｙ＝２５４

　　　　≪答≫　ｘ：１５２，　ｙ：２５４

$図形と相似$

[２]　ア∥イ∥ウ

　　　≪ｘを求める≫
　　　　ＡＢ：ＡＣ＝ＤＥ：ＤＦ
　　　　５：１２．５＝７：ｘ
　　　　ｘ＝１７．５

　　　≪ｙを求める≫
　　　　ＡＢ：ＡＣ＝ＢＥ：ＣＦ
　　　　５：１２．５＝９：ｙ
　　　　ｙ＝２２．５

　　　　≪答≫　ｘ：１７．５，　ｙ：２２．５

【練習問題３】　　（参照　：　Lesson25　Lesson26 ）
以下の条件のとき、水色の部分の面積を求めなさい。

$図形と相似$

[１]　△ＱＢＲ＝１０ｃｍ²

　　　　△ＱＢＲと△ＡＢＰにおいて、
　　　　ＱＲ，ＡＰを底面，高さは共通と考えられるので、
　　　　面積比は１：３である。
　　　　よって、
　　　　１：３＝１０：△ＡＢＰ
　　　　△ＡＢＰ＝３０

　　　　△ＡＢＰと△ＡＣＰにおいて、
　　　　ＢＰ，ＣＰを底面，高さは共通と考えられるので、
　　　　面積比は１：１である。
　　　　よって、
　　　　１：１＝３０：△ＡＣＰ
　　　　△ＡＣＰ＝３０

　　　　≪答≫　３０ｃｍ²

$図形と相似$

[２]　△ＰＱＲ＝１０ｃｍ²

　　　　図の条件より、
　　　　△ＰＱＲと△ＡＣＤは、相似比１：２の相似な図形なので、
　　　　面積比は１：４である。
　　　　よって、
　　　　１：４＝１０：△ＡＣＤ
　　　　△ＡＣＤ＝４０

　　　　≪答≫　４０ｃｍ²

$図形と相似$

【練習問題４】　　（参照　：　Lesson28 ）
右図の△ＡＢＣで、∠ＢＡＣ＝∠ＡＰＣ＝９０°である。
このとき、以下の質問に答えなさい。
　（※長さの単位はcm）

［１］　△ＡＢＣ∽△ＰＡＣであることを証明しなさい。

　　　　≪答≫
　　　　△ＡＢＣと△ＰＡＣにおいて、
　　　　仮定より、
　　　　∠ＢＡＣ＝∠ＡＰＣ＝９０°　・・・①

　　　　共通の角なので、
　　　　∠ＡＣＢ＝∠ＰＣＡ＝９０°　・・・②

　　　　①，②より、２組の角がそれぞれ等しいので、
　　　　△ＡＢＣ∽△ＰＡＣ

［２］　ＰＣの長さを求めなさい。

　　　　［１］より△ＡＢＣ∽△ＰＡＣで、
　　　　ＢＣ：ＡＣ＝ＡＣ：ＰＣなので、
　　　　１０：８＝８：ＰＣ
　　　　ＰＣ＝６４１０
　　　　ＰＣ＝３２５

　　　　≪答≫　３２５ｃｍ

［３］　ＡＰの長さを求めなさい。

　　　　［１］より△ＡＢＣ∽△ＰＡＣで、
　　　　ＢＣ：ＡＣ＝ＢＡ：ＡＰなので、
　　　　１０：８＝６：ＡＰ
　　　　ＡＰ＝４８１０
　　　　ＡＰ＝２４５

　　　　≪答≫　２４５ｃｍ

$図形と相似$

【練習問題５】　　（参照　：　Lesson28 ）
右図の△ＡＢＣで、ＡＰは∠ＢＡＣの二等分線でＡＰ＝ＢＰである。
このとき、以下の質問に答えなさい。
　（※長さの単位はcm）

［１］　△ＡＢＣ∽△ＰＡＣであることを証明しなさい。

　　　　≪答≫
　　　　△ＡＢＣと△ＰＡＣにおいて、
　　　　共通の角なので、
　　　　∠ＡＣＢ＝∠ＰＣＡ　・・・①

　　　　ＡＰ＝ＢＰなので、
　　　　∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＡ　・・・②

　　　　仮定よりＡＰは∠ＢＡＣの二等分線なので、
　　　　∠ＰＡＢ＝∠ＰＡＣ　・・・③

　　　　②，③より
　　　　∠ＰＢＡ＝∠ＰＡＣ
　　　　つまり、
　　　　∠ＣＢＡ＝∠ＰＡＣ　・・・④

　　　　①，④より、２組の角がそれぞれ等しいので、
　　　　△ＡＢＣ∽△ＰＡＣ

［２］　ＰＣの長さを求めなさい。

　　　　［１］より△ＡＢＣ∽△ＰＡＣで、
　　　　ＢＣ：ＡＣ＝ＡＣ：ＰＣなので、
　　　　１２：８＝８：ＰＣ
　　　　ＰＣ＝６４１２
　　　　ＰＣ＝１６３

　　　　≪答≫　１６３ｃｍ

［３］　ＡＢの長さを求めなさい。

　　　　［１］より△ＡＢＣ∽△ＰＡＣで、
　　　　ＡＢ：ＰＡ＝ＡＣ：ＰＣなので、
　　　　ＡＢ：ＰＡ＝８：１６３　　・・・①

　　　　ＰＡ＝ＰＢ＝ＢＣ－ＰＣなので、
　　　　ＰＡ＝１２－１６３
　　　　ＰＡ＝２０３　　・・・②

　　　　①に②を代入すると、
　　　　ＡＢ：２０３＝８：１６３
　　　　ＡＢ＝１０

　　　　≪答≫　１０ｃｍ

$図形と相似$

【練習問題６】　　（参照　：　Lesson27 ）
右図のように、底面の半径が９ｃｍ、高さが１８ｃｍの円すいの容器がある。
この容器にコップ３杯の水を入れたところ、高さ６ｍのところにまで水が入った。
このとき、以下の質問に答えなさい。

［１］　水面の円の半径を求めなさい。

　　　≪水面の半径をｘとする≫
　　　　９：ｘ＝１８：６
　　　　ｘ＝３

　　　　≪答≫　３ｃｍ

［２］　水面の面積は、容器の底面積の何倍か求めなさい。

　　　≪相似比を求める≫
　　　　［１］より、
　　　　底面の半径：水面の半径＝９：３＝３：１

　　　≪面積比を求める≫
　　　　３²：１²＝９：１

　　　　≪答≫　１９倍

［３］　容器を満水にするには、あとコップ何杯の水を入れればよいかを
　　　求めなさい。

　　　≪相似比を求める≫
　　　　［２］より、
　　　　相似比は３：１

　　　≪体積比を求める≫
　　　　３³：１³＝２７：１

　　　≪あとコップ何杯必要かを求める≫
　　　　満水に必要なコップの杯数をｘとする
　　　　２７：１＝ｘ杯：３杯
　　　　ｘ＝８１

　　　　満水にするにはコップ８１杯が必要だが、すでに３杯分はいれてあるので、
　　　　８１－３＝７８

　　　　≪答≫　７８杯

$図形と相似$

【練習問題７】　　（参照　：　Lesson27 ）
右図の台形は、ＡＤ∥ＢＣ、∠ＡＢＣ＝９０°、ＡＢ＝７．５ｃｍ、ＡＤ＝２ｃｍ、ＢＣ＝４ｃｍ、ＤＣ＝８ｃｍとする。
この台形の辺ＡＢを軸として１回転させてできる立体Ｐについて、以下の質問に答えなさい。

［１］　立体Ｐの体積を求めなさい。

　　　　立体Ｐの体積は、円Ｂを底面とする円すいの体積から、
　　　　円Ａを底面とする円すいの体積をひくことで求められる

　　　≪ＴＡの長さを求める≫
　　　　ＴＡ：（ＴＡ＋７．５）＝２：４
　　　　ＴＡ：（ＴＡ＋７．５）＝１：２
　　　　２ＴＡ＝ＴＡ＋７．５
　　　　ＴＡ＝７．５

　　　★解き方その１
　　　≪円Ｂを底面とする円すいの体積を求める≫
　　　　底面積⇒π×４²＝１６π（ｃｍ²）
　　　　高さ⇒ＴＡ＋ＡＢ＝７．５＋７．５＝１５（ｃｍ）
　　　　体積⇒１３×１６π×１５＝８０π（ｃｍ³）

　　　≪円Ａを底面とする円すいと円Ｂを底面とする円すいの体積比を求める≫
　　　　相似比⇒２：４＝１：２
　　　　体積比⇒１³：２³＝１：８

　　　≪立体Ｐの体積を求める≫
　　　　円Ａを底面とする円すいの体積をｘｃｍ³とする
　　　　１：８＝ｘ：８０π
　　　　ｘ＝１０π

　　　≪立体Ｐの体積を求める≫
　　　　８０π－１０π＝７０π（ｃｍ³）

　　　★解き方その２
　　　≪円Ｂを底面とする円すいの体積を求める≫
　　　　底面積⇒π×４²＝１６π（ｃｍ²）
　　　　高さ⇒ＴＡ＋ＡＢ＝７．５＋７．５＝１５（ｃｍ）
　　　　体積⇒１３×１６π×１５＝８０π（ｃｍ³）

　　　≪円Ａを底面とする円すいの体積を求める≫
　　　　底面積⇒π×２²＝４π（ｃｍ²）
　　　　高さＴＡ⇒７．５（ｃｍ）
　　　　体積⇒１３×４π×７．５＝１０π（ｃｍ³）

　　　≪立体Ｐの体積を求める≫
　　　　８０π－１０π＝７０π（ｃｍ³）

　　　　≪答≫　７０πｃｍ³

［２］　立体Ｐの表面積を求めなさい。

　　　　立体Ｐの側面積は、円Ｂを底面とする円すいの側面積から、
　　　　円Ａを底面とする円すいの側面積をひくことで求められる

　　　≪ＴＤの長さを求める≫
　　　　ＴＤ：（ＴＤ＋８）＝２：４
　　　　ＴＤ：（ＴＤ＋８）＝１：２
　　　　２ＴＤ＝ＴＤ＋８
　　　　ＴＤ＝８

　　　★解き方その１
　　　≪円Ｂを底面とする円すいの側面積を求める≫
　　　　円Ｂの円周⇒２π×４＝８π（ｃｍ）
　　　　ＴＣを半径とする円の円周⇒２π×１６＝３２π（ｃｍ）
　　　　ＴＣを半径とする円の面積⇒π×１６²＝２５６π（ｃｍ²）
　　　　側面積⇒２５６π×８π３２π＝６４π（ｃｍ²）

　　　≪円Ａを底面とする円すいと円Ｂを底面とする円すいの面積比を求める≫
　　　　相似比⇒２：４＝１：２
　　　　面積比⇒１²：２²＝１：４

　　　≪立体Ｐの側面積を求める≫
　　　　円Ａを底面とする円すいの側面積をｘｃｍ²とする
　　　　１：４＝ｘ：６４π
　　　　ｘ＝１６π

　　　　６４π－１６π＝４８π（ｃｍ²）

　　　≪円Ａと円Ｂの面積を求める≫
　　　　円Ａ⇒π×２²＝４π（ｃｍ²）
　　　　円Ｂ⇒π×４²＝１６π（ｃｍ²）

　　　≪立体Ｐの表面積を求める≫
　　　　側面積＋円Ａの面積＋円Ｂの面積
　　　　４８π＋４π＋１６π＝６８π（ｃｍ²）

　　　★解き方その２
　　　≪円Ｂを底面とする円すいの側面積を求める≫
　　　　円Ｂの円周⇒２π×４＝８π（ｃｍ）
　　　　ＴＣを半径とする円の円周⇒２π×１６＝３２π（ｃｍ）
　　　　ＴＣを半径とする円の面積⇒π×１６²＝２５６π（ｃｍ²）
　　　　側面積⇒２５６π×８π３２π＝６４π（ｃｍ²）

　　　≪円Ａを底面とする円すいの側面積を求める≫
　　　　円Ａの円周⇒２π×２＝４π（ｃｍ）
　　　　ＴＤを半径とする円の円周⇒２π×８＝１６π（ｃｍ）
　　　　ＴＤを半径とする円の面積⇒π×８²＝６４π（ｃｍ²）
　　　　側面積⇒６４π×４π１６π＝１６π（ｃｍ²）

　　　≪立体Ｐの側面積を求める≫
　　　　６４π－１６π＝４８π（ｃｍ²）

　　　≪円Ａと円Ｂの面積を求める≫
　　　　円Ａ⇒π×２²＝４π（ｃｍ²）
　　　　円Ｂ⇒π×４²＝１６π（ｃｍ²）

　　　≪立体Ｐの表面積を求める≫
　　　　側面積＋円Ａの面積＋円Ｂの面積
　　　　４８π＋４π＋１６π＝６８π（ｃｍ²）

　　　　≪答≫　６８πｃｍ²