中学生 勉強なんて 怖くない
～ 勉強が苦手な中学生のために ～
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勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。
～ 中学２年 数学 ～
『 第５章 図形と合同 』 の復習テスト
第５章 図形と合同
＜前：『 第５章 図形と合同 』 の復習テスト の問題 Ｌ４２- 確率の意味 の問題：次＞
【練習問題１】 （ 参照 ： Lesson34 Lesson38 ）
∠ｘの大きさを求めなさい。
ただし、[２]，[４]，[５]，[６]の四角形は平行四辺形とする。
[１]
≪答≫ ∠ｘ＝１２２°
[３]
≪答≫ ∠ｘ＝６０°
[５]
≪答≫ ∠ｘ＝５３°
[２]
≪答≫ ∠ｘ＝４０°
[４]
≪答≫ ∠ｘ＝９０°
[６]
≪答≫ ∠ｘ＝６８°
【練習問題２】 （ 参照 ： Lesson41 ）
以下の質問に答えなさい。
［１］ 右図の平行四辺形ＡＢＣ Ｄの面積は２６ｃｍ2である。
辺ＣＤ上に点Ｐをとったとき、△ＡＢＰの面積を求めなさい。
≪答≫ １３ｃｍ2
［２］ 右図の平行四辺形ＡＢＣ Ｄの面積は１００ｃｍ2である。
点Ｐを辺ＡＤの中点に、点Ｑを辺ＢＣ上にとる。
このとき、△ＡＱＰの面積を求めなさい。
≪答≫ ２５ｃｍ2
［３］ 右図の平行四辺形ＡＢＣ Ｄで、∠Ｂ，∠Ｃの二等分線と辺ＡＢとの交点を
それぞれ、Ｐ，Ｑとする。
ＡＢ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝１４ｃｍのとき、ＰＱの長さを求めなさい。
∠ＡＢＱ＝∠ＡＱＢなので、
ＡＱ＝１０ｃｍ
∠ＤＣＰ＝∠ＤＰＣなので、
ＤＰ＝１０ｃｍ
（１０＋１０）－１４＝６
≪答≫ ６ｃｍ
【練習問題３】 （ 参照 ： Lesson34 Lesson35 Lesson37 ）
右図の△ＡＢＣと△ＡＤＥは正三角形である。
このとき、ＢＤ＝ＣＥであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＢＤと△ＡＣ Ｅにおいて、
仮定より、
ＡＢ＝ＡＣ ・・・(1)
ＡＤ＝ＡＥ ・・・(2)
∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＣ－∠ＤＡＣ
∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ－∠ＤＡＣ
∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝６０°なので、
∠ＢＡＤ＝６０°－∠ＤＡＣ
∠ＣＡＥ＝６０°－∠ＤＡＣ
よって、
∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＤ≡△ＡＣ Ｅ
合同な図形の対応する辺は等しいので、
ＢＤ＝Ｃ Ｅ
【練習問題４】 （ 参照 ： Lesson34 Lesson35 Lesson36 Lesson37 ）
右図の三角ＡＢＣ において、点Ｂ，Ｃから辺ＡＣ，ＡＢにそれぞを垂線をひき、その交点をＰとする。
ＢＱ＝ＣＲのとき、以下の証明をしなさい。
［１］ △ＰＢＣは二等辺三角形である
≪答≫
△ＱＢＣと△ＲＣＢにおいて、
仮定より、
ＢＱ＝ＣＲ ・・・(1)
∠ＢＱＣ＝∠Ｃ ＲＢ＝９０° ・・・(2)
ＢＣは共通なので、
ＢＣ＝Ｃ Ｂ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、直角三角形の斜辺と他の１つの辺がそれぞれ等しいので、
△ＱＢＣ≡△ＲＣ Ｂ
合同な図形の対応する∠は等しいので、
∠ＱＣ Ｂ＝∠ＲＢＣ
２つの角が等しいので、
△ＰＢＣは二等辺三角形である
［２］ △ＡＢＣは二等辺三角形である
≪答≫
［１］より、
△ＱＢＣ≡△ＲＣＢ
合同な図形の対応する∠は等しいので、
∠ＱＢＣ＝∠ＲＣ Ｂ
２つの角が等しいので、
△ＡＢＣは二等辺三角形である
［３］ △ＰＱＢ≡△ＰＲＣ
≪答≫
△ＰＱＢと△ＰＲＣにおいて、
仮定より、
ＢＱ＝ＣＲ ・・・(1)
∠ＢＱＣ＝∠Ｃ ＲＢ＝９０° ・・・(2)
[１]より、
ＰＢ＝ＰＣ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、直角三角形の斜辺と他の１つの辺がそれぞれ等しいので、
△ＰＱＢ≡△ＰＲＣ
【練習問題５】 （ 参照 ： Lesson38 Lesson39 Lesson40 ）
右図のように、△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＡＣに中点Ｐ，Ｑをとる。
ＱＰの延長線上にＰＱ＝ＰＲとなるように点Ｒをとって、四角形ＡＲＢＱをつくった。
このとき四角形ＡＲＢＱが平行四辺形であることを証明しなさい。
≪答≫
仮定より、
ＡＰ＝ＢＰ ・・・(1)
ＰＱ＝ＰＲ ・・・(2)
(1)，(2)より、対角線がそれぞれの中点で交わるので、
四角形ＡＲＢＱは平行四辺形である
【練習問題６】 （ 参照 ： Lesson38 Lesson39 Lesson40 ）
右図において、△ＡＢＣ≡△ＤＥＦで、ＦＥ∥ＢＣである。
このとき、四角形ＡＰＤＱが平行四辺形であることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＢＣ≡△ＤＥＦなので、
∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ ・・・(1)
∠ＡＣ Ｂ＝∠ＤＦＥ ・・・(2)
ＦＥ∥ＢＣなので、
∠ＡＢＣ＝∠ＦＡＢ ・・・(3)
∠ＡＣ Ｂ＝∠ＥＡＣ ・・・(4)
(1)，(3)より、∠ＤＥＦ＝∠ＦＡＢで同位角が等しいので、
ＡＢ∥ＥＤ
つまり、
ＡＰ∥ＱＤ ・・・(5)
(2)，(4)より、∠ＤＦＥ＝∠ＥＡＣで同位角が等しいので、
ＡＣ∥ＦＤ
つまり、
ＰＤ∥ＡＱ ・・・(6)
(5)，(6)より、２組の対辺がそれぞれ平行なので、
四角形ＡＰＤＱは平行四辺形である
【練習問題７】 （ 参照 ： Lesson38 Lesson39 Lesson40 ）
右図のように、平行四辺形ＡＢＣＤの対角線の交点をＯとする。
また、ＡＣ上に点Ｐ，Ｒを、対角線ＢＤ上に点Ｑ，Ｓを、ＡＰ＝ＣＲ，ＢＱ＝ＤＳとなるようにとる。
このとき四角形ＰＱＲＳは平行四辺形であることを証明しなさい。
≪答≫
ＰＯ＝ＡＯ－ＡＰ
ＲＯ＝ＣＯ－ＣＲ
平行四辺形ＡＢＣ Ｄより、
ＡＯ＝ＣＯ
仮定より、
ＡＰ＝ＣＲ
よって、
ＰＯ＝ＲＯ ・・・(1)
同様にして、
ＱＯ＝ＳＯ ・・・(2)
(1)，(2)より、対角線がそれぞれの中点で交わるので、
四角形ＰＱＲＳは平行四辺形である
【練習問題８】 （ 参照 ： Lesson41 ）
右図の平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＢＤに平行な線をひき、辺ＡＢ，ＡＤとの交点をそれぞれＰ，Ｑとする。
このとき、△ＰＢＣ＝△ＱＣＤであることを証明しなさい。
≪答≫
ＡＢ∥ＡＤなので、
△ＰＢＣ＝△ＰＢＤ ・・・(1)
ＡＤ∥ＢＣなので、
△ＱＣＤ＝△ＱＢＤ ・・・(2)
ＰＱ∥ＢＤなので、
△ＰＢＤ＝△ＱＢＤ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、
△ＰＢＣ＝△ＱＣＤである
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