中学３年数学練習問題　放物線と直線の解答/ｘの２乗に比例する関数

勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

～　中学３年　数学　～

Lesson 27　　　放物線と直線

第４章　ｘの２乗に比例する関数

【練習問題１】
関数ｙ＝ｘ²のグラフと直線ｙ＝４の交点をＰ，Ｑとする。
このとき、点Ｐ，Ｑの座標を求めなさい。
ただし、点Ｐのｘ座標は点Ｑのｘ座標より大きいものとする。

　　≪ｙ＝ｘ²に、ｙ＝４を代入する≫
　　　４＝ｘ²
　　　ｘ＝±２

　　　点Ｐのｘ座標＞点Ｑのｘ座標なので、
　　　点Ｐのｘ座標⇒２，点Ｑのｘ座標⇒－２

　　　≪答≫　点Ｐ（２，４），　点Ｑ（－２，４）

$ｘの２乗に比例する関数$

【練習問題２】
右図のように、関数ｙ＝ａｘ²のグラフと直線ｙ＝２７の交点をＰ，Ｑとする。
ＰＱ＝１８のとき、ａの値を求めなさい。

　　≪点Ｐ，Ｑの座標を求める≫
　　　ＰＱ＝１８で、ｙ軸について対称なので、
　　　Ｐ（－９，２７），　Ｑ（９，２７）

　　≪ｙ＝ａｘ²に代入する≫
　　　２７＝ａ×９²
　　　ａ＝１３

　　　≪答≫　ａ＝１３

$ｘの２乗に比例する関数$

【練習問題３】
右図のように、関数ｙ＝１２ｘ²のグラフ上に点Ｐ，Ｑを、ｘ軸上に点Ｒ，Ｓをとる。
四角形ＰＲＳＱが正方形となるとき、点Ｑの座標を求めなさい。

　　≪点Ｑのｘ座標をｍとして、それぞれ座標を表す≫
　　　Ｐ（－ｍ，１２ｍ²）
　　　Ｑ（ｍ，１２ｍ²）
　　　Ｒ（－ｍ，０）
　　　Ｓ（ｍ，０）

　　　ＱＳ＝ＲＳなので、
　　　１２ｍ²＝ｍ－（－ｍ）
　　　ｍ²－４ｍ＝０
　　　ｍ（ｍ－４）＝０
　　　ｍ＝０，ｍ＝４

　　　ｍ＞０なので、
　　　ｍ＝４

　　≪点Ｑのｘ座標＝４を、ｙ＝１２ｘ²に代入する≫
　　　ｙ＝１２×４²
　　　ｙ＝８

　　　≪答≫　Ｑ（４，８）

$ｘの２乗に比例する関数$

【練習問題４】
右図のように、関数ｙ＝ｘ²のグラフ上に点Ｐ，Ｑがある。
点Ｐ，Ｑを通る直線とｘ軸，ｙ軸との交点をそれぞれＲ，Ｓとする。
点Ｐ，Ｑのｘ座標がそれぞれｘ＝－５，ｘ＝３のとき以下の質問に答えなさい。

［１］　点Ｐ，Ｑの座標を求めなさい。

　　≪点Ｐのｘ座標＝－５をｙ＝ｘ²に代入する≫
　　　ｙ＝（－５）²
　　　ｙ＝２５

　　≪点Ｑのｘ座標＝３をｙ＝ｘ²に代入する≫
　　　ｙ＝３²
　　　ｙ＝９

　　　≪答≫　Ｐ（－５，２５），　Ｑ（３，９）

［２］　直線ＰＱの式を求めなさい。

　　≪点Ｐ、Ｑの座標をｙ＝ａｘ＋ｂに代入する≫
　　　２５＝－５ａ＋ｂ　　・・・Ｐ
　　　９＝３ａ＋ｂ　　・・・Ｑ
　　　これを解くと、
　　　ａ＝－２，　ｂ＝１５

　　　≪答≫　ｙ＝－２ｘ＋１５

［３］　点Ｒ，Ｓの座標を求めなさい。

　　≪点Ｒの座標を求める≫
　　　０＝－２ｘ＋１５
　　　ｘ＝１５２

　　≪点Ｓの座標を求める≫
　　　ｙ＝－２×０＋１５
　　　ｙ＝１５

　　　≪答≫　Ｒ（１５２，０），　Ｓ（０，１５）

［４］　△ＯＰＱの面積を求めなさい。（座標軸の１目盛りを１ｃｍとする）

　　　△ＯＰＱ＝△ＯＳＰ＋△ＯＳＱで、ＯＳを底辺とみる

　　≪△ＯＳＰの面積を求める≫
　　　底辺１５ｃｍ、高さ５ｃｍなので、
　　　１５×５÷２＝３７．５

　　≪△ＯＳＱの面積を求める≫
　　　底辺１５ｃｍ、高さ３ｃｍなので、
　　　１５×３÷２＝２２．５

　　≪△ＯＰＱの面積を求める≫
　　　３７．５＋２２．５＝６０

　　　≪答≫　６０ｃｍ²

［５］　ＰＱを対角線とする平行四辺形ＰＯＱＴをつくるとき、点Ｔの座標を求めなさい。

　　　平行四辺形の２つの対角線はそれぞれ中点で交わるので、ＰＱの中点はＴＯの中点でもある。
　　　［１］よりＰ（－５，２５），　Ｑ（３，９）なので、その中点Ｍの座標は、
　　　Ｍ（－１，１７）

　　≪点Ｔの座標を求める≫
　　　ｘ座標：－１×２＝－２
　　　ｙ座標：１７×２＝３４

　　　≪答≫　Ｔ（－２，３４）

【練習問題５】
放物線と直線が点Ｐ（－４，ｍ）と点Ｑ（２，－６）で交わっている。
このとき、以下の質問に答えなさい。

［１］　放物線の式を求めなさい。

　　≪ｙ＝ａｘ²に代入する≫
　　　－６＝ａ×２²
　　　ａ＝－３２

　　　≪答≫　ｙ＝－３２ｘ²

［２］　ｍの値を求めなさい。

　　≪ｙ＝－３２ｘ²にｘ＝－４を代入する≫
　　　ｙ＝－３２×（－４）²
　　　ｙ＝－２４

　　　≪答≫　ｍ＝－２４

［３］　直線の式を求めなさい。

　　≪点Ｐ、Ｑの座標をｙ＝ａｘ＋ｂに代入する≫
　　　－６＝２ａ＋ｂ　　・・・Ｐ
　　　－２４＝－４ａ＋ｂ　　・・・Ｑ
　　　これを解くと、
　　　ａ＝３，　ｂ＝－１２

　　　≪答≫　ｙ＝３ｘ－１２

【練習問題６】
放物線と直線が点Ｐ，Ｑで交わっていて、直線ＰＱとｙ軸との交点を点Ｒとする。
点Ｐ（－３，６），点Ｒ（０，１２）のとき、点Ｑの座標を求めなさい。

　　≪放物線の式を求める≫
　　　点Ｐの座標を　ｙ＝ａｘ²に代入する
　　　６＝ａ×（－３）²
　　　ａ＝２３
　　　式：ｙ＝２３ｘ²

　　≪直線の式を求める≫
　　　６＝－３ａ＋１２
　　　ａ＝２
　　　式：ｙ＝２ｘ＋１２

　　≪点Ｑの座標を求める≫
　　　２３ｘ²＝２ｘ＋１２
　　　ｘ²－３ｘ－１８＝０
　　　（ｘ－６）（ｘ＋３）＝０
　　　ｘ＝６，ｘ＝－３

　　　ｘ＝－３は点Ｐのｘ座標なので、
　　　点Ｑのｘ座標は、ｘ＝６

　　　ｙ＝２×６＋１２
　　　ｙ＝２４

　　　≪答≫　点Ｑ（６，２４）