中学生 勉強なんて 怖くない
～ 勉強が苦手な中学生のために ～
- ＴＯＰ
- ＞
- 中学３年 数学 練習問題一覧
- ＞
- 『 第４章 ｘの２乗に比例する関数 』 の復習テスト
勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。
～ 中学３年 数学 ～
『 第４章 ｘの２乗に比例する関数 』 の復習テスト
第４章 ｘの２乗に比例する関数
＜前：『第４章 ｘ の２乗に比例する関数』の復習テスト の問題 Ｌ２９- 相似な図形とその性質 の問題：次＞
【練習問題１】 （ 参照 ： Lesson23 Lesson26 ）
ｙはｘの２乗に比例し、ｘ＝４のとき、ｙ＝１２である。
このとき以下の質問に答えなさい。
［１］ ｙをｘの式で表しなさい。
≪ｙ＝ａｘ2の式に代入する≫
１２＝ａ×４2
ａ＝３４
≪答≫ ｙ＝３４ｘ2
［２］ ｘ＝６のときのｙの値を求めなさい。
≪ｙ＝３４ｘ2の式に代入する≫
ｙ＝３４×６2
ｙ＝２７
≪答≫ ｙ＝２７
［３］ ｘの値が、８から１２まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
≪ｘ＝８のときの、ｙの値を求める≫
ｙ＝３４×８2
ｙ＝４８
≪ｘ＝１２のときの、ｙの値を求める≫
ｙ＝３４×１２2
ｙ＝１０８
≪ｙの増加量ｘの増加量に代入する≫
１０８－４８１２－８＝１５
≪答≫ 変化の割合：１５
【練習問題２】 （ 参照 ： Lesson24 Lesson25 Lesson26 ）
関数ｙ＝ａｘ2について、ｘの変域が－６≦ｘ≦４のとき、ｙの変域はｍ≦ｙ≦１８である。
このとき以下の質問に答えなさい。
［１］ ａの値を求めなさい。
まず、ｘ＝－６，ｘ＝４において、どちらのｙの値が大きいかを考える。
ｙの変域はｍ≦ｙ≦１８なので、上に広がった関数だとわかる。
この場合、ｘ＝－６の方がｙの値が大きいので，ｙ＝１８は、ｘ＝－６に対する値だと判明する。
≪ｙ＝ａｘ2に代入する≫
１８＝ａ×（－６）2
ａ＝１２
≪答≫ ａ＝１２
［２］ ｍの値を求めなさい。
４を計算しそうになるが、関数ｙ＝１２ｘ2は原点０を通る関数であり、
ｘの変域が－６≦ｘ≦４の場合、ｙの最小の値は０になる。
≪答≫ ｍ＝０
［３］ この関数において、ｘの変域－４≦ｘ≦－２に対するｙの変域を求めなさい。
≪ｙ＝１２ｘ2に－４を代入する≫
ｙ＝１２×（－４）2
ｙ＝８
≪ｙ＝１２ｘ2に－２を代入する≫
ｙ＝１２×（－２）2
ｙ＝２
≪答≫ ２≦ｙ≦８
［４］ ［３］の変化の割合を求めなさい。
≪ｙの増加量ｘの増加量に代入する≫
８－２－４－（－２）＝－３
≪答≫ 変化の割合：－３
【練習問題３】 （ 参照 ： Lesson25 Lesson26 ）
ある自動車が動き始めてからｘ秒間にすすむ距離をｙｍとすると、０≦ｘ≦１０の範囲ではｙ＝０．９ｘ2という関係があった。
このとき以下の質問に答えなさい。
［１］ 動き始めて５秒後までに進んだ距離を求めなさい。
≪ｙ＝０．９ｘ2にｘ＝５を代入する≫
ｙ＝０．９×５2
ｙ＝２２．５
≪答≫ ２２．５ｍ
［２］ 動き始めて６秒後から８秒後までの平均の速さを求めなさい。
≪ｙ＝０．９ｘ2にｘ＝８を代入する≫
ｙ＝０．９×８2
ｙ＝５７．６
≪ｙ＝０．９ｘ2にｘ＝６を代入する≫
ｙ＝０．９×６2
ｙ＝３２．４
≪ｙの増加量ｘの増加量に代入する≫
５７．６－３２．４８－６＝１２．６
≪答≫ 平均の速さ：秒速１２．６ｍ
【練習問題４】 （ 参照 ： Lesson28 ）
右図のような１辺８ｃｍの正方形があり、点Ｐ，Ｑは頂点Ａを同時に出発する。
点Ｐは秒速２ｃｍで辺ＡＢ，ＢＣ上を点Ｃまで動き、点Ｑは秒速１ｃｍで辺ＡＤ上を頂点Ｄまで動く。
出発してからｘ秒後の△ＡＰＱの面積をｙｃｍ2とするとき、以下の質問に答えなさい。
［１］ 点Ｐが辺ＡＢ上にあるとき、ｙをｘの式で表しなさい。
また、ｘの変域も答えなさい。
≪式を求める≫
ＡＱ＝ｘを底辺とると、
ＡＰ＝２ｘを高さと考えることができる
ｙ＝１２×ｘ×２ｘ
ｙ＝ｘ2
≪変域を求める≫
点Ｐが角Ａのとき：０
点Ｐが角Ｂのとき：８÷２＝４
≪答≫ 式：ｙ＝ｘ2， 変域：０≦ｘ≦４
［２］ 点Ｐが辺ＢＣ上にあるとき、ｙをｘの式で表しなさい。
また、ｘの変域も答えなさい。
≪式を求める≫
ＡＱ＝ｘを底辺とると、
ＡＰ＝８(cm)を高さと考えることができる
ｙ＝１２×ｘ×８
ｙ＝４ｘ
≪変域を求める≫
点Ｐが角Ｂのとき：８÷２＝４
点Ｐが角Ｃのとき：１６÷２＝８
≪答≫ ｙ＝４ｘ， 変域：４≦ｘ≦８
［３］ 出発して３秒後と６秒後の△ＡＰＱの面積を求めなさい。
≪３秒後：ｙ＝ｘ2にｘ＝３を代入する≫
ｙ＝３2
ｙ＝９
≪６秒後：ｙ＝４ｘにｘ＝６を代入する≫
ｙ＝４×６
ｙ＝２４
≪答≫ ３秒後：９ｃｍ2， ６秒後：２４ｃｍ2
［４］ △ＡＰＱの面積が最も大きくなるのは出発して何秒後か求めなさい。
≪８秒後：ｙ＝４ｘにｘ＝８を代入する≫
ｙ＝４×８
ｙ＝３２
このときの面積が最も大きい
≪答≫ ８秒後
【練習問題５】 （ 参照 ： Lesson28 ）
右図のように、直角三角形ＡＢＣと直角三角形ＰＱＲが同じ直線上に並んでいて、△ＡＢＣは直線に沿って矢印の方向に秒速２ｃｍで動く。
点Ｃが点Ｅの位置にきたときからｘ秒後に２つの図形が重なる部分の面積をｙｃｍ2とする。
このとき、以下の質問に答えなさい。
［１］ ｙをｘの式で表しなさい。
青い曲線のはすべて同じ長さである。
青い曲線の１つをｘとすると、重なった部分の面積は、
ｙ＝１２×２ｘ×ｘ
ｙ＝ｘ2
≪答≫ 式：ｙ＝ｘ2
［２］ ｘの変域と、ｙの変域を求めなさい。
≪ｘの変域を求める≫
点Ｃが点Ｑと重なったとき：０
点Ｃが点Ｒと重なったとき：１０÷２＝５
よって、
０≦ｘ≦５
≪ｙの変域を求める≫
点Ｃが点Ｑと重なったとき：０
点Ｃが点Ｒと重なったとき：ｙ＝５2＝２５
よって、
０≦ｙ≦２５
≪答≫ ｘの変域：０≦ｘ≦５， ｙの変域：０≦ｙ≦２５
［３］ 点Ｃが点Ｑの位置にきてから３秒後の重なる部分の面積を求めなさい。
≪ｙ＝ｘ2に代入する≫
ｙ＝３2
ｙ＝９
≪答≫ ９ｃｍ2
［４］ 重なる部分の面積が△ＰＱＲの面積の半分になるのは、点Ｃが点Ｑの位置にきてから何秒後か求めなさい。
≪△ＰＱＲの面積の半分を求める≫
１０×１０÷２＝５０
５０÷２＝２５
≪ｙ＝ｘ2に代入する≫
２５＝ｘ2
ｘ＝±５
ｘ＝－５は、条件にあわないので、
ｘ＝５
≪答≫ ５秒後
【練習問題６】 （ 参照 ： Lesson27 ）
右図のように、直線ｍである関数ｙ＝１２ｘ＋９と、２点Ａ（０，４），Ｂ（２，０）を通る直線ｎが点Ｐで交わっている。
このとき、以下の質問に答えなさい。
［１］ 関数ｙ＝ａｘ2のグラフが点Ｐを通るとき、ａの値を求めなさい。
≪直線ｎの式を求める≫
０＝ａ×２＋４
ａ＝－２
よって、
ｙ＝－２ｘ＋４
≪点Ｐの座標を求める≫
ｙ＝１２ｘ＋９ ・・・①
ｙ＝－２ｘ＋４ ・・・②
①②より、点Ｐ（－２，８）
≪ａの値を求める≫
８＝ａ×（－２）2
ａ＝２
≪答≫ ａ＝２
［２］ ［１］の関数と直線ｎの点Ｐでない方の交点を求めなさい。
≪交点を求める≫
ｙ＝２ｘ2 ・・・③
ｙ＝－２ｘ＋４ ・・・④
③④より、
ｘ＝－２，ｘ＝１
ｘ＝－２は条件に合わないので、
ｘ＝１
③か④に代入して、
ｙ＝２
≪答≫ 交点の座標：（１，２）
［３］ 水色の部分の面積を求めなさい。
直線ｍとｙ軸の交点の座標は、与式より
（９，０）
点Ａ（０，４），点Ｐ（－２，８）なので、
水色の部分は底辺５，高さ２の三角形と考えられる
よって、
５×２÷２＝５
≪答≫ 面積：５
【練習問題７】 （ 参照 ： Lesson27 ）
右図のように、関数ｙ＝１８ｘ2と、関数ｙ＝－１２ｘ＋４のグラフの交点を、それぞれ点Ｐ，Ｑとする。
また、点Ｓは関数ｙ＝－１２ｘ＋４とｙ軸との交点で、
点Ｒは関数ｙ＝１８ｘ2のグラフ上を０≦ｘの範囲で動く点である。
このとき、以下の質問に答えなさい。
［１］ 点Ｐ，Ｑの座標を求めなさい。
≪交点を求める≫
ｙ＝１８ｘ2 ・・・①
ｙ＝－１２ｘ＋４ ・・・②
①②より、
ｘ＝－８，ｘ＝４
それぞれを①か②に代入して、
ｘ＝－８のとき、ｙ＝８
ｘ＝４のとき、ｙ＝２
≪答≫ 点Ｐの座標：（－８，８）， 点Ｑの座標：（４，２）
［２］ △ＯＰＱの面積を求めなさい。
与式より、点Ｓの座標（０，４）
△ＯＰＱ＝△ＯＰＳ＋△ＯＱＳ
△ＯＰＳは、底辺４，高さ８の三角形
△ＯＱＳは、底辺４，高さ４の三角形
よって、
△ＯＰＱ＝（４×８÷２）＋（４×４÷２）＝２４
≪答≫ △ＯＰＱの面積：２４
［３］ △ＯＲＳの面積が△ＯＰＱの面積の半分になるときの点Ｒの座標を求めなさい。
△ＯＰＱの面積の半分は、２４÷２＝１２
△ＯＲＳは、底辺４の三角形なので、高さをｘとすると、
１２＝４ｘ÷２
ｘ＝６
点Ｒのｘ座標はｙ軸から６で、０≦ｘなので、
点Ｒのｘ座標は、－６
ｙ＝１８ｘ2に代入すると、
ｙ＝１８×（－６）2
ｙ＝９２
≪答≫ 点Ｒの座標：（－６，９２）
＜前：『第４章 ｘ の２乗に比例する関数』の復習テスト の問題 Ｌ２９- 相似な図形とその性質 の問題：次＞
中１数学・練習問題一覧 中２数学・練習問題一覧 中３数学・練習問題一覧
