中学２年数学練習問題　三角形の合同の証明の進め方-図形と合同

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三角形の合同の証明

勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

～　中学２年　数学　～

Lesson 37　　　三角形の合同の証明

第５章　図形と合同

＜前：Ｌ３７- 三角形の合同の証明の問題　　Ｌ３８- 平行四辺形の性質の問題：次＞

　　　　※証明の方法は、以下の解答の他にも色々あるかもしれないよ！
　　　　　他の方法を見つけるのもとても勉強になるので、ぜひ探してみてね！

$三角形の合同の証明$

【練習問題１】
右図のＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣで、∠Ｂの二等分線とＡＣとの交点をＥ，∠Ｃの二等分線とＡＢとの交点をＤとする。
このとき、ＢＥ＝ＣＤであることを証明しなさい。

　　　　≪答≫
　　　　△ＡＢＥと△ＡＣＤにおいて、

　　　　仮定より、
　　　　ＡＢ＝ＡＣ　　・・・(1)

　　　　共通な角なので、
　　　　∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ　　・・・(2)

　　　　△ＡＢＣは二等辺三角形なので、
　　　　∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ
　　　　∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ÷２
　　　　∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ÷２
　　　　よって、
　　　　∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＤ　　・・・(3)

　　　　(1)，(2)，(3)より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
　　　　△ＡＢＥ≡△ＡＣＤ

　　　　合同な図形の対応する辺は等しいので、
　　　　ＢＥ＝ＣＤ

$三角形の合同の証明$

【練習問題２】
右図で、点Ｄ，ＥはそれぞれＡＢ，ＡＣ上の点で、ＢＥとＣＤの交点をＰとし、ＡＢ＝ＡＣ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＥである。
このとき、以下の証明をしなさい。

［１］　ＡＤ＝ＡＥ

　　　　≪答≫
　　　　△ＡＢＥと△ＡＣＤにおいて、

　　　　仮定より、
　　　　ＡＢ＝ＡＣ　　・・・(1)
　　　　∠ＡＥＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°　　・・・(2)

　　　　共通な角なので、
　　　　∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＤ　　・・・(3)

　　　　(1)，(2)，(3)より、斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので、
　　　　△ＡＢＥ≡△ＡＣＤ

　　　　合同な図形の対応する辺は等しいので、
　　　　ＡＤ＝ＡＥ

［２］　△ＢＤＰ≡△ＣＥＰ

　　　　≪答≫
　　　　△ＢＤＰと△ＣＥＰにおいて、

　　　　仮定より、ＡＢ＝ＡＣ
　　　　［１］より、ＡＤ＝ＡＥなので、
　　　　ＤＢ＝ＡＢ－ＡＤ
　　　　ＥＣ＝ＡＣ－ＡＥ
　　　　ＤＢ＝ＥＣ　　・・・(1)

　　　　仮定より、
　　　　∠ＢＤＰ＝∠ＣＥＰ＝９０°　　・・・(2)

　　　　［１］より、
　　　　∠ＤＢＰ＝∠ＥＣＰ　　・・・(3)

　　　　(1)，(2)，(3)より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
　　　　△ＢＤＰ≡△ＣＥＰ

$三角形の合同の証明$

【練習問題３】
右図の△ＡＢＣと△ＣＤＥは正三角形である。
このとき、ＡＤ＝ＢＥであることを証明しなさい。

　　　　≪答≫
　　　　△ＡＣＤと△ＢＣＥにおいて、

　　　　△ＡＢＣは正三角形なので、
　　　　ＡＣ＝ＢＣ　　・・・(1)

　　　　△ＣＤＥは正三角形なので、
　　　　ＣＤ＝ＣＥ　　・・・(2)

　　　　∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＤ
　　　　∠ＢＣＥ＝∠ＤＣＥ＋∠ＢＣＤ
　　　　△ＡＢＣと△ＣＤＥは正三角形なので、
　　　　∠ＡＣＤ＝６０°＋∠ＢＣＤ
　　　　∠ＢＣＥ＝６０°＋∠ＢＣＤ
　　　　よって、
　　　　∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ　　・・・(3)

　　　　(1)，(2)，(3)より、２組の辺とその間の角が等しいので、
　　　　△ＡＣＤ≡△ＢＣＥ

　　　　合同な図形の対応する辺は等しいので、
　　　　ＡＤ＝ＢＥ

$三角形の合同の証明$

【練習問題４】
右図の△ＢＡＤと△ＢＣＥは直角二等辺三角形で、点Ａ，Ｂ，Ｃは同じ直線上にある。
このとき、ＡＥ＝ＣＤであることを証明しなさい。

　　　　≪答≫
　　　　△ＡＢＥと△ＤＢＣにおいて、

　　　　△ＡＢＤは二等辺三角形なので、
　　　　ＡＢ＝ＤＢ　　・・・(1)

　　　　△ＢＣＥは二等辺三角形なので、
　　　　ＢＥ＝ＢＣ　　・・・(2)

　　　　ＡＣ⊥ＤＢなので、
　　　　∠ＡＢＥ＝∠ＤＢＣ＝９０°　　・・・(3)

　　　　(1)，(2)，(3)より、２組の辺とその間の角が等しいので、
　　　　△ＡＢＥ≡△ＤＢＣ

　　　　合同な図形の対応する辺は等しいので、
　　　　ＡＥ＝ＤＣ

$三角形の合同の証明$

【練習問題５】
右図の△ＡＢＣは∠ＡＣＢ＝９０°の直角三角形である。
ＡＥは∠ＢＡＣの二等分線であり、またＡＢ⊥ＣＤで、ＡＥとＣＤの交点をＰとする。
このとき、△ＣＰＥが二等辺三角形であることを証明しなさい。

　　　　≪答≫

　　　　△ＰＡＤは直角三角形なので、
　　　　∠ＣＰＥ＝∠ＡＰＤ＝９０°－∠ＰＡＤ

　　　　△ＣＡＥも直角三角形なので、
　　　　∠ＣＥＰ＝９０°－∠ＣＡＥ

　　　　∠ＰＡＤ＝∠ＣＡＥだから、
　　　　∠ＣＰＥ＝∠ＣＥＰ

　　　　よって、２つの角が等しいので、
　　　　△ＣＰＥは二等辺三角形である

$三角形の合同の証明$

【練習問題６】
右図の△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの直角二等辺三角形で、直線ｍは点Ａを通り、辺ＢＣと交わっている。
点Ｂから直線ｍに垂線をひいて交点をＤとし、点Ｃから直線ｍに垂線をひいて交点をＥとする。
このとき、△ＡＢＤ≡△ＣＡＥであることを証明しなさい。

　　　　≪答≫
　　　　ＢＤの延長線とＡＣとの交点をＰとする

　　　　∠ＢＤＥ＝∠ＣＥＤ＝９０°で、錯角が等しいので、
　　　　ＢＰ∥ＥＣ

　　　　△ＡＢＤと△ＣＡＥにおいて、

　　　　∠ＡＢＤ＝１８０°－∠ＢＡＰ－∠ＡＰＤ
　　　　∠ＣＡＥ＝１８０°－∠ＣＥＡ－∠ＡＣＥ

　　　　∠ＢＡＰ＝∠ＣＥＡ＝９０°なので、
　　　　∠ＡＢＤ＝９０°－∠ＡＰＤ
　　　　∠ＣＡＥ＝９０°－∠ＡＣＥ

　　　　同位角は等しいので、
　　　　∠ＡＰＤ＝∠ＡＣＥ
　　　　よって、
　　　　∠ＡＢＤ＝∠ＣＡＥ　　・・・(1)

　　　　△仮定より、
　　　　ＡＢ＝ＣＡ　　・・・(2)
　　　　∠ＡＤＢ＝∠ＣＥＡ＝９０°　　・・・(3)

　　　　(1)，(2)，(3)より、直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので、
　　　　△ＡＢＤ≡△ＣＡＥ