勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

~ 中学2年 数学 ~

Lesson 36   直角三角形の合同

第5章 図形と合同

<前:L36- 直角三角形の合同 の問題   L37- 三角形の合同の証明 の問題:次>


    ※証明の方法は、以下の解答の他にも色々あるかもしれないよ!
     他の方法を見つけるのもとても勉強になるので、ぜひ探してみてね!


【練習問題1】
直角三角形A,B,Cと合同な直角三角形をア~オの中から選びなさい。
また、その合同条件も答えなさい。

直角三角形と合同


  ≪答≫
[A] イ, 斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい

[B] エ, 1つの辺とその両端の角がそれぞれ等しい

[C] オ, 斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい

直角三角形の合同

【練習問題2】
右図で、∠XOYの内部の点Pから、2辺OX,OYにひいた垂線PA,PBの長さは等しい。
このとき、OPは∠XOYの二等分線であることを証明しなさい。

    ≪答≫
    △APOと△BPO において、

    仮定より、
    PA=PB  ・・・(1)
    ∠PAO=∠PBO=90°  ・・・(2)

    POは共通なので、
    PO=PO  ・・・(3)

    (1),(2),(3)より、直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいので、
    △APO≡△BPO

    合同な図形の対応する角は等しいので、
    ∠AOP=∠BOP

    よって、
    OPは∠XOYの二等分線である

直角三角形の合同

【練習問題3】
右図において、∠B=90°の直角三角形ABC の∠BAC の二等分線と辺BC との交点Dをとり、点DからAC に垂線をひき、その交点をEとする。
このとき、BD=EDであることを証明しなさい。

    ≪答≫
    △ABDと△AED において、

    仮定より、
    ∠BAD=∠EAD  ・・・(1)
    ∠ABD=∠AED=90°  ・・・(2)

    ADは共通なので、
    AD=AD  ・・・(3)

    (1),(2),(3)より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、
    △ABD≡△AED

    合同な図形の対応する辺は等しいので、
    BD=ED

直角三角形の合同

【練習問題4】
右図のように、直線と交わりAO=BOとなるような線分ABをひき、線分の両端A,Bから直線に垂線AP,BQをひく。
このとき、AP=BQであることを証明しなさい。

    ≪答≫
    △AOPと△BOQ において、

    仮定より、
    AO=BO  ・・・(1)
    ∠APO=∠BQO=90°  ・・・(2)

    対頂角は等しいので、
    ∠AOP=∠BOQ  ・・・(3)

    (1),(2),(3)より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、
    △AOP≡△BOQ

    合同な図形の対応する辺は等しいので、
    AP=BQ

直角三角形の合同

【練習問題5】
右図のように、直角二等辺三角形ABC の頂角Aを通る直線に、B,C から垂線BD,C Eをひく。
このとき、以下の証明しなさい。

[1] △ABD≡△CAE

    ≪答≫
    △ABDと△C AE において、
    仮定より、
    AB=CA  ・・・(1)
    ∠ADB=∠C EA=90°  ・・・(2)

    また、
    ∠ABD=180°-∠ADB(90°)-∠DAB
    ∠CAE=180°-∠BAC(90°)-∠DAB
    
    ∠ABD=90°-∠DAB
    ∠CAE=90°-∠DAB

    よって、
    ∠ABD=∠CAE  ・・・(3)

    (1),(2),(3)より、直角三角形の斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、
    △ABD≡△C AE

[2] BD+C E=DE

    ≪答≫
    [1]より、△ABD≡△C AE なので、
    
    BD=AE  ・・・(1)
    AD=C E  ・・・(2)

    AD+AE=DEなので、
    (1),(2)より、
    BD+C E=DE

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