勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

~ 中学3年 数学 ~

Lesson 37   相似な立体の表面積と体積の比

第5章 図形と相似

<前:L37- 相似な立体の表面積と体積の比 の問題   『第5章 図形と相似』の復習テスト の問題:次>


相似な立体の表面積と体積の比

【練習問題1】
右図のように、1辺が2cmの立方体アと、1辺が3cmの立方体イがある。
このとき、以下の質問に答えなさい。

[1] 立方体アとイの相似比を求めなさい。

  立方体アは1辺が2cm、立方体イは1辺が3cmなので、
  相似比は、2:3

  ≪答≫ 2:3

[2] 立方体アとイの表面積の比を求めなさい。

  [1]より相似比は2:3なので、
  表面積の比は、22:32=4:9

  ≪答≫ 4:9

[3] 立方体アとイの表面積をそれぞれ求めなさい。
   (比を利用して求めること)

  立方体アの表面積は、
  2×2×6=24(cm2

  [2]より表面積の比は4:9なので、
  立方体イの表面積をとすると、
  4:9=24:
  =54

  ≪答≫ 立方体ア 24cm2, 立方体イ 54cm2

[4] 立方体アとイの体積比を求めなさい。

  [1]より相似比は2:3なので、
  体積比は、23:33=8:27

  ≪答≫ 8:27

[5] 立方体アとイの体積をそれぞれ求めなさい。
   (比を利用して求めること)

  立方体アの体積は、
  2×2×2=8(cm3

  [4]より体積比は8:27なので、
  立方体イの体積をとすると、
  8:27=8:
  =27

  ≪答≫ 立方体ア 8cm3, 立方体イ 27cm3

相似な立体の表面積と体積の比

【練習問題2】
右図のように、半径が2cmの球アと、半径が3cmの球イがある。
このとき、以下の質問に答えなさい。

[1] 球アとイの相似比を求めなさい。

  球アは半径が2cm、球イは半径が3cmなので、
  相似比は、2:3

  ≪答≫ 2:3

[2] 球アとイの表面積の比を求めなさい。

  [1]より相似比は2:3なので、
  表面積の比は、22:32=4:9

  ≪答≫ 4:9

[3] 球アとイの表面積をそれぞれ求めなさい。
   (比を利用して求めること)

  球アの表面積は、
  4π×22=16π(cm2

  [2]より表面積の比は4:9なので、
  球イの表面積をとすると、
  4:9=16π:
  =36π

  ≪答≫ 球ア 16πcm2, 球イ 36πcm2

[4] 球アとイの体積比を求めなさい。

  [1]より相似比は2:3なので、
  体積比は、23:33=8:27

  ≪答≫ 8:27

[5] 球アとイの体積をそれぞれ求めなさい。
   (比を利用して求めること)

  球アの体積は、
  π×2332(cm3

  [4]より体積比は8:27なので、
  球イの体積をとすると、
  8:27=32
  =36

  ≪答≫ 球ア 32cm3, 球イ 36cm3

相似な立体の表面積と体積の比

【練習問題3】
右図のように、高さ12cm・半径4cmの円を底面とする円柱アと、
高さ6cm・半径2cmの円を底面とする円柱イがある。
このとき、以下の質問に答えなさい。

[1] 円柱アとイの相似比を求めなさい。

  円柱アは半径が4cm、球イは半径が2cmなので、
  相似比は、4:2=2:1

  ≪答≫ 2:1

[2] 円柱アとイの表面積の比を求めなさい。

  [1]より相似比は2:1なので、
  表面積の比は、22:12=4:1

  ≪答≫ 4:1

[3] 円柱アとイの表面積をそれぞれ求めなさい。
   (比を利用して求めること)

  ≪円柱アの表面積を求める≫
  「底面の円 2面」
  2(π×42)=32π(cm2

  「側面」
  底面の円周は、
  2π×4=8π(cm)

  高さは12cmなので、
  8π×12=96π(cm2

  円柱アの表面積は、
  32π+96π=128π(cm2

  ≪円柱イの表面積を比を使って求める≫
  円柱イの表面積をとすると、
  2:1=128π:
  =64π

  ≪答≫ 円柱ア 128πcm2, 円柱イ 64πcm2

[4] 円柱アとイの体積比を求めなさい。

  [1]より相似比は2:1なので、
  体積比は、23:13=8:1

  ≪答≫ 8:1

[5] 円柱アとイの体積をそれぞれ求めなさい。
   (比を利用して求めること)

  円柱アの体積は、
  (π×42)×12=192π(cm3

  [4]より体積比は8:1なので、
  円柱イの体積をとすると、
  8:1=192π:
  =24π

  ≪答≫ 円柱ア 192πcm3, 円柱イ 24πcm3

相似な立体の表面積と体積の比

【練習問題4】
右図のように、三角すいABCDの辺AB,AC,ADの中点をそれぞれE,F,Gとする。
このとき、以下の質問に答えなさい。

[1] 三角すいAEFGとABCDの相似比を求めなさい。

  点Eは辺ABの中点なので、
  相似比は、1:2

  ≪答≫ 1:2

[2] 三角すいAEFGとABCDの表面積の比を求めなさい。

  [1]より相似比は1:2なので、
  表面積の比は、12:22=1:4

  ≪答≫ 1:4

[3] 三角すいAEFGとABCDの体積比を求めなさい。

  [1]より相似比は1:2なので、
  体積比は、13:23=1:8

  ≪答≫ 1:8

[4] 三角すいAEFGの体積が10cm3のとき、立体EFG-BCDの体積を求めなさい。

  ≪三角すいABCDの体積を求める≫
  三角すいAEFGの体積は10cm3、[3]より、体積比は1:8なので、
  三角すいABCDの体積をとすると、
  1:8=10:
  =80(cm3

  ≪立体EFG-BCDの体積を求める≫
  立体EFG-BCDは、三角すいABCDから三角すいAEFGをひいた残りなので、
  80-10=70(cm3

  ≪答≫ 70cm3

相似な立体の表面積と体積の比

【練習問題5】
右図のような深さ15cmの円すいの容器にコップ1杯の水を入れたら、深さ5cmのところまで水が入った。
このとき、以下の質問に答えなさい。

[1] 容器の体積は、コップの体積の何倍か求めなさい。

  相似比は、水の高さ5cm:容器の高さ15cmなので、
  5:15=1:3

  よって、体積比は、
  13:33=1:27

  ≪答≫ 27倍

[2] 容器を満水にするには、あとコップ何杯の水を入れればよいか求めなさい。

  この容器はコップ27杯で満水になる。
  すでに1杯分は入っているので、
  27-1=26

  ≪答≫ 26杯

[3] 水面の面積が4πcm2であるとき、容器の底面の直径を求めなさい。

  水面の面積は4πcm2、[1]より相似比は1:3なので、
  面積比は、12:32=1:9
  容器の底面の面積をとすると、
  1:9=4π:
  =36π(cm2

  面積の公式はπ2なので、
  π2=36π
  =6(cm)

  半径=6cmなので、
  直径は、6×2=12(cm)

  ≪答≫ 12cm
   ※水面の半径を求めてからも解けるから試してみてね!

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