中学生 勉強なんて 怖くない
~ 勉強が苦手な中学生のために ~
- TOP
- >
- 中学3年 数学 練習問題一覧
- >
- 相似な立体の表面積と体積の比
勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。
~ 中学3年 数学 ~
Lesson 37 相似な立体の表面積と体積の比
第5章 図形と相似
<前:L37- 相似な立体の表面積と体積の比 の問題 『第5章 図形と相似』の復習テスト の問題:次>
【練習問題1】
右図のように、1辺が2cmの立方体アと、1辺が3cmの立方体イがある。
このとき、以下の質問に答えなさい。
[1] 立方体アとイの相似比を求めなさい。
立方体アは1辺が2cm、立方体イは1辺が3cmなので、
相似比は、2:3
≪答≫ 2:3
[2] 立方体アとイの表面積の比を求めなさい。
[1]より相似比は2:3なので、
表面積の比は、22:32=4:9
≪答≫ 4:9
[3] 立方体アとイの表面積をそれぞれ求めなさい。
(比を利用して求めること)
立方体アの表面積は、
2×2×6=24(cm2)
[2]より表面積の比は4:9なので、
立方体イの表面積をxとすると、
4:9=24:x
x=54
≪答≫ 立方体ア 24cm2, 立方体イ 54cm2
[4] 立方体アとイの体積比を求めなさい。
[1]より相似比は2:3なので、
体積比は、23:33=8:27
≪答≫ 8:27
[5] 立方体アとイの体積をそれぞれ求めなさい。
(比を利用して求めること)
立方体アの体積は、
2×2×2=8(cm3)
[4]より体積比は8:27なので、
立方体イの体積をxとすると、
8:27=8:x
x=27
≪答≫ 立方体ア 8cm3, 立方体イ 27cm3
【練習問題2】
右図のように、半径が2cmの球アと、半径が3cmの球イがある。
このとき、以下の質問に答えなさい。
[1] 球アとイの相似比を求めなさい。
球アは半径が2cm、球イは半径が3cmなので、
相似比は、2:3
≪答≫ 2:3
[2] 球アとイの表面積の比を求めなさい。
[1]より相似比は2:3なので、
表面積の比は、22:32=4:9
≪答≫ 4:9
[3] 球アとイの表面積をそれぞれ求めなさい。
(比を利用して求めること)
球アの表面積は、
4π×22=16π(cm2)
[2]より表面積の比は4:9なので、
球イの表面積をxとすると、
4:9=16π:x
x=36π
≪答≫ 球ア 16πcm2, 球イ 36πcm2
[4] 球アとイの体積比を求めなさい。
[1]より相似比は2:3なので、
体積比は、23:33=8:27
≪答≫ 8:27
[5] 球アとイの体積をそれぞれ求めなさい。
(比を利用して求めること)
球アの体積は、
43π×23=323(cm3)
[4]より体積比は8:27なので、
球イの体積をxとすると、
8:27=323:x
x=36
≪答≫ 球ア 323cm3, 球イ 36cm3
【練習問題3】
右図のように、高さ12cm・半径4cmの円を底面とする円柱アと、
高さ6cm・半径2cmの円を底面とする円柱イがある。
このとき、以下の質問に答えなさい。
[1] 円柱アとイの相似比を求めなさい。
円柱アは半径が4cm、球イは半径が2cmなので、
相似比は、4:2=2:1
≪答≫ 2:1
[2] 円柱アとイの表面積の比を求めなさい。
[1]より相似比は2:1なので、
表面積の比は、22:12=4:1
≪答≫ 4:1
[3] 円柱アとイの表面積をそれぞれ求めなさい。
(比を利用して求めること)
≪円柱アの表面積を求める≫
「底面の円 2面」
2(π×42)=32π(cm2)
「側面」
底面の円周は、
2π×4=8π(cm)
高さは12cmなので、
8π×12=96π(cm2)
円柱アの表面積は、
32π+96π=128π(cm2)
≪円柱イの表面積を比を使って求める≫
円柱イの表面積をxとすると、
2:1=128π:x
x=64π
≪答≫ 円柱ア 128πcm2, 円柱イ 64πcm2
[4] 円柱アとイの体積比を求めなさい。
[1]より相似比は2:1なので、
体積比は、23:13=8:1
≪答≫ 8:1
[5] 円柱アとイの体積をそれぞれ求めなさい。
(比を利用して求めること)
円柱アの体積は、
(π×42)×12=192π(cm3)
[4]より体積比は8:1なので、
円柱イの体積をxとすると、
8:1=192π:x
x=24π
≪答≫ 円柱ア 192πcm3, 円柱イ 24πcm3
【練習問題4】
右図のように、三角すいABCDの辺AB,AC,ADの中点をそれぞれE,F,Gとする。
このとき、以下の質問に答えなさい。
[1] 三角すいAEFGとABCDの相似比を求めなさい。
点Eは辺ABの中点なので、
相似比は、1:2
≪答≫ 1:2
[2] 三角すいAEFGとABCDの表面積の比を求めなさい。
[1]より相似比は1:2なので、
表面積の比は、12:22=1:4
≪答≫ 1:4
[3] 三角すいAEFGとABCDの体積比を求めなさい。
[1]より相似比は1:2なので、
体積比は、13:23=1:8
≪答≫ 1:8
[4] 三角すいAEFGの体積が10cm3のとき、立体EFG-BCDの体積を求めなさい。
≪三角すいABCDの体積を求める≫
三角すいAEFGの体積は10cm3、[3]より、体積比は1:8なので、
三角すいABCDの体積をxとすると、
1:8=10:x
x=80(cm3)
≪立体EFG-BCDの体積を求める≫
立体EFG-BCDは、三角すいABCDから三角すいAEFGをひいた残りなので、
80-10=70(cm3)
≪答≫ 70cm3
【練習問題5】
右図のような深さ15cmの円すいの容器にコップ1杯の水を入れたら、深さ5cmのところまで水が入った。
このとき、以下の質問に答えなさい。
[1] 容器の体積は、コップの体積の何倍か求めなさい。
相似比は、水の高さ5cm:容器の高さ15cmなので、
5:15=1:3
よって、体積比は、
13:33=1:27
≪答≫ 27倍
[2] 容器を満水にするには、あとコップ何杯の水を入れればよいか求めなさい。
この容器はコップ27杯で満水になる。
すでに1杯分は入っているので、
27-1=26
≪答≫ 26杯
[3] 水面の面積が4πcm2であるとき、容器の底面の直径を求めなさい。
水面の面積は4πcm2、[1]より相似比は1:3なので、
面積比は、12:32=1:9
容器の底面の面積をxとすると、
1:9=4π:x
x=36π(cm2)
面積の公式はπr2なので、
πr2=36π
r=6(cm)
半径=6cmなので、
直径は、6×2=12(cm)
≪答≫ 12cm
※水面の半径を求めてからも解けるから試してみてね!
<前:L37- 相似な立体の表面積と体積の比 の問題 『第5章 図形と相似』の復習テスト の問題:次>
中1数学・練習問題一覧 中2数学・練習問題一覧 中3数学・練習問題一覧