中学３年数学練習問題　相似な平面図形の面積の比/図形と相似

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相似な平面図形の面積の比

勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

～　中学３年　数学　～

Lesson 36　　　相似な平面図形の面積の比

第５章　図形と相似

＜前：Ｌ３６- 相似な平面図形の面積の比の問題　　Ｌ３７- 相似な立体の表面積と体積の比の問題：次＞

【練習問題１】
以下の面積比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

［１］　相似比が２：３である三角形アとイの面積の比

$相似な平面図形の面積の比$

　　相似比が２：３なので、
　　面積比は、２²：３²＝４：９

　　≪答≫　４：９

［２］　相似比が３：４である四角形アとイの面積比

$相似な平面図形の面積の比$

　　相似比が３：４なので、
　　面積比は、３²：４²＝９：１６

　　≪答≫　９：１６

［３］　半径が２ｃｍの円アと、半径が３ｃｍの円イの面積比

$相似な平面図形の面積の比$

　　相似比が２：３なので、
　　面積比は、２²：３²＝４：９

　　≪答≫　４：９

$相似な平面図形の面積の比$

【練習問題２】
右図の四角形ＡＢＣＤにおいて、ＡＤ∥ＢＣ、ＡＤ＝６ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍで、点Ｐは対角線ＡＣ，ＢＤの交点である。
このとき、以下の質問に答えなさい。

［１］　△ＡＰＤと△ＣＰＢの相似比を最も簡単な整数で表しなさい。

　　ＡＤ：ＣＢ＝６：８なので、
　　相似比は６：８＝３：４

　　≪答≫　３：４

［２］　△ＡＰＤの周の長さが１５ｃｍのとき、△ＣＰＢの周の長さを求めなさい。

　　［１］より、相似比が３：４なので、
　　△ＣＰＢの周の長さをｘとすると、
　　３：４＝１５：ｘ
　　ｘ＝２０

　　≪答≫　２０ｃｍ

［３］　△ＡＰＤと△ＣＰＢの面積比を最も簡単な整数で表しなさい。

　　［１］より、相似比が３：４なので、
　　面積比は、３²：４²＝９：１６

　　≪答≫　９：１６

［４］　△ＡＰＤの面積が１３．５ｃｍ²のとき、△ＣＰＢの面積を求めなさい。

　　［３］より、面積比が９：１６なので、
　　△ＣＰＢの面積をｘとすると、
　　９：１６＝１３．５：ｘ
　　ｘ＝２４

　　≪答≫　２４ｃｍ²

$相似な平面図形の面積の比$

【練習問題３】
右図は、△ＡＢＣの辺ＡＢと辺ＡＣをそれぞれ３等分する点、ＤとＥ，ＦとＧをとり、ＤとＦ，ＥとＧをそれぞれ線でつなげたものである。
このとき、以下の質問に答えなさい。

　　★ △ＡＤＦ，△ＡＥＧ，△ＡＢＣの相似比は、１：２：３である

［１］　△ＡＢＣの周の長さが２７ｃｍのとき、△ＡＤＦ，△ＡＥＧの周の長さを
　　　　それぞれ求めなさい。

　　≪△ＡＤＦの周の長さを求める≫
　　★より、△ＡＤＦと△ＡＢＣの相似比は１：３なので、
　　△ＡＤＦの周の長さをｘとすると、
　　１：３＝ｘ：２７
　　ｘ＝９

　　≪△ＡＥＧの周の長さを求める≫
　　★より、△ＡＥＧと△ＡＢＣの相似比は２：３なので、
　　△ＡＥＧの周の長さをｘとすると、
　　２：３＝ｘ：２７
　　ｘ＝１８

　　≪答≫　△ＡＤＦ９ｃｍ，　△ＡＥＧ１８ｃｍ

［２］　△ＡＤＦ，△ＡＥＧ，△ＡＢＣの面積比を求めなさい。
　　★より、相似比は１：２：３なので、
　　面積比は１²：２²：３²＝１：４：９

　　≪答≫　１：４：９

［３］　△ＡＤＦの面積が６ｃｍ²のとき、△ＡＥＧ，△ＡＢＣの面積を求めなさい。

　　≪△ＡＥＧの面積を求める≫
　　［２］より、△ＡＤＦと△ＡＥＧの面積比は１：４なので、
　　△ＡＥＧの面積をｘとすると、
　　１：４＝６：ｘ
　　ｘ＝２４

　　≪△ＡＢＣの面積を求める≫
　　［２］より、△ＡＤＦと△ＡＢＣの面積比は１：９なので、
　　△ＡＢＣの面積をｘとすると、
　　１：９＝６：ｘ
　　ｘ＝５４

　　≪答≫　△ＡＥＧ２４ｃｍ²，　△ＡＢＣ５４ｃｍ²

［４］　四角形ＥＢＣＧの面積を求めなさい。
　　［３］より、△ＡＥＧ＝２４ｃｍ²，△ＡＢＣ＝５４ｃｍ²なので、
　　５４－２４＝３０

　　≪答≫　３０ｃｍ²

$相似な平面図形の面積の比$

【練習問題４】
右図は、点Ｏを中心とする３つの円で、ＯＡ＝ＡＢ＝ＢＣである。
このとき、以下の質問に答えなさい。

［１］　白，水色，緑の３つの円の円周の長さの比を、最も簡単な整数で表しなさい。

　　周の長さの比＝ＯＡ：ＯＢ：ＯＣの相似比なので、
　　１：２：３

　　≪答≫　１：２：３

［２］　ＯＡ＝２ｃｍのとき、白，水色，緑の３つの円のそれぞれの円周の長さを求めなさい。

　　★わかっていること
　　　・円周の長さは、２πｒ（ｃｍ）
　　　・［１］より、相似比（円周の長さの比）は１：２：３
　　　・ＯＡ＝２ｃｍなので、ＯＢ＝４ｃｍ，ＯＣ＝６ｃｍ

　　≪白い円の円周の長さを求める≫
　　２π×２＝４π

　　≪水色の円と緑の円の円周の長さを求める≫
　　白い円の円周が４πなので、相似比１：２：３より、
　　１：２：３＝４π：８π：１２π

　　≪答≫　白い円４πｃｍ，　水色の円８πｃｍ，　緑の円１２πｃｍ

［３］　白，水色，緑の部分の面積比を、最も簡単な整数で表しなさい。

　　円の相似比が１：２：３なので、
　　円の面積比は、１²：２²：３²＝１：４：９

　　しかし、円は点Ｏを中心に重なっていて、その部分の面積をひかなくてはならないので、
　　１：（４－１）：（９－４）＝１：３：５

　　≪答≫　１：３：５

［４］　ＯＡ＝２ｃｍのとき、緑の部分の面積を求めなさい。

　　★わかっていること
　　　・円の面積は、πｒ²（ｃｍ²）
　　　・［３］より、白と緑の部分の面積比は、１：５
　　　・ＯＡ＝２ｃｍなので、ＯＣ＝６ｃｍ

　　≪白い円の面積を求める≫
　　π×２²＝４π

　　≪緑の部分の面積を求める≫
　　緑の部分の面積をｘとすると、
　　１：５＝４π：ｘ
　　ｘ＝２０π

　　≪答≫　２０πｃｍ²

　　　　※緑の円の面積（半径ＯＣ）から水色の円の面積（半径ＯＢ）をひいても
　　　　　同じ答えになるはずだから確かめてみてね！