中学３年数学練習問題　中点連結定理/図形と相似

勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

～　中学３年　数学　～

Lesson 34　　　中点連結定理

第５章　図形と相似

$中点連結定理$

【練習問題１】
右図の△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＡのそれぞれの中点をＰ，Ｑ，Ｒとする。
このとき、以下の質問に答えなさい。

［１］　△ＡＢＣ∽△ＱＲＰを証明しなさい。

　　≪答≫　
　　中点連結定理より、
　　ＱＲ＝１２ＡＢ
　　ＲＰ＝１２ＢＣ
　　ＰＱ＝１２ＡＣ
　　したがって、ＱＲ：ＡＢ＝ＲＰ：ＢＣ＝ＰＱ：ＡＣ＝１：２
　　よって、３組の辺の比がすべて等しいので、
　　△ＡＢＣ∽△ＱＲＰ

［２］　ＰＲ＝３ｃｍのとき、ＢＣの長さを求めなさい。

　　中点連結定理より、
　　ＰＲ＝１２ＢＣなので、
　　３＝１２ＢＣ
　　ＢＣ＝６

　　≪答≫　６ｃｍ

［３］　ＡＣ＝７ｃｍのとき、ＰＱの長さを求めなさい。

　　中点連結定理より、
　　ＰＱ＝１２ＡＣなので、
　　ＰＱ＝１２×７
　　ＰＱ＝３．５

　　≪答≫　３．５ｃｍ

$中点連結定理$

【練習問題２】
右図の△ＡＢＣの２点Ｐ，Ｑは、それぞれ辺ＢＣ，ＣＡの中点で、点Ｒは線分ＡＰ，ＢＱの交点である。
ＢＱ＝１５ｃｍのとき、ＲＱの長さを求めなさい。

　　点Ｒは、△ＡＢＣの重心なので、
　　ＢＲ：ＲＱ＝２：１
　　よって、
　　ＲＱ＝１３ＢＱ
　　ＲＱ＝１３×１５
　　ＲＱ＝５

　　≪答≫　５ｃｍ

$中点連結定理$

【練習問題３】
右図の△ＡＢＣにおいて、点Ｐは辺ＡＢの中点、２点Ｑ，Ｒは辺ＡＣを３等分する点、点ＳはＢＲとＣＰの交点である。
ＰＱ＝５ｃｍのとき、ＢＳの長さを求めなさい。

　　≪ＢＲの長さを求める≫
　　　△ＡＢＲにおいて、ＡＰ＝ＰＢ，ＡＱ＝ＱＲなので、中点連結定理より、
　　　ＢＲ＝２ＰＱ
　　　ＢＲ＝２×５
　　　ＢＲ＝１０

　　≪ＳＲの長さを求める≫
　　　△ＣＱＰにおいて、ＣＲ＝ＲＱ，ＣＳ＝ＳＰなので、中点連結定理より、
　　　ＳＲ＝１２ＰＱ
　　　ＳＲ＝１２×５
　　　ＳＲ＝２．５

　　≪ＢＳの長さを求める≫
　　　ＢＳ＝ＢＲ－ＳＲなので、
　　　ＢＳ＝１０－２．５
　　　ＢＳ＝７．５

　　≪答≫　７．５ｃｍ

$中点連結定理$

【練習問題４】
右図の四角形ＡＢＣＤは、ＡＤ∥ＢＣの台形で、２点Ｐ，Ｑはそれぞれ辺ＡＢ，ＤＣの中点である。
ＡＤ＝１４ｃｍ，ＢＣ＝２２ｃｍのとき、ＰＱの長さを求めなさい。

　　★四角形ＡＢＣＤの対角線ＡＣをひき、ＰＱとの交点をＲとする。

　　≪ＰＲの長さを求める≫
　　　△ＡＢＣにおいて、ＡＰ＝ＰＢ，ＡＲ＝ＲＣなので、中点連結定理より、
　　　ＰＲ＝１２ＢＣ
　　　ＰＲ＝１２×２２
　　　ＰＲ＝１１

　　≪ＲＱの長さを求める≫
　　　△ＣＤＡにおいて、ＣＱ＝ＱＤ，ＣＲ＝ＲＡなので、中点連結定理より、
　　　ＲＱ＝１２ＡＤ
　　　ＲＱ＝１２×１４
　　　ＲＱ＝７

　　≪ＰＱの長さを求める≫
　　　ＰＱ＝ＰＲ＋ＲＱなので、
　　　ＰＱ＝１１＋７
　　　ＰＱ＝１８

　　≪答≫　１８ｃｍ

$中点連結定理$

【練習問題５】
右図の四角形ＡＢＣＤは、ＡＤ∥ＢＣの台形で、２点Ｐ，Ｑはそれぞれ対角線ＡＣ，ＤＢの中点である。
ＡＤ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝１９ｃｍのとき、ＰＱの長さを求めなさい。

　　★線分ＰＱの延長線とＤＣとの交点をＲとする。

　　≪ＰＲの長さを求める≫
　　　△ＤＢＣにおいて、ＤＰ＝ＰＢ，ＤＲ＝ＲＣなので、中点連結定理より、
　　　ＰＲ＝１２ＢＣ
　　　ＰＲ＝１２×１９
　　　ＰＲ＝９．５

　　≪ＱＲの長さを求める≫
　　　△ＣＤＡにおいて、ＣＲ＝ＲＤ，ＣＱ＝ＱＡなので、中点連結定理より、
　　　ＱＲ＝１２ＡＤ
　　　ＱＲ＝１２×１０
　　　ＱＲ＝５

　　≪ＰＱの長さを求める≫
　　　ＰＱ＝ＰＲ－ＱＲなので、
　　　ＰＱ＝９．５－５
　　　ＰＱ＝４．５

　　≪答≫　４．５ｃｍ

$中点連結定理$

【練習問題６】
右図の平行四辺形ＡＢＣＤで、点Ｐは辺ＡＢの中点で、２点Ｑ，ＲはそれぞれＢＰ，ＣＰの中点である。
このとき、四角形ＡＱＲＰが平行四辺形になることを証明しなさい。

　　≪答≫
　　△ＰＢＣにおいて、中点連結定理より、
　　ＱＲ∥ＢＣ　・・・(1)
　　ＱＲ＝１２ＢＣ　・・・(2)

　　仮定より、
　　ＡＰ∥ＢＣ　・・・(3)
　　ＡＰ＝１２ＡＤ＝１２ＢＣ　・・・(4)

　　よって、(1)と(3)より、
　　ＡＰ∥ＱＲ

　　(2)と(4)より、
　　ＡＰ＝ＱＲ

　　１組の対辺の長さが等しくて平行なので、四角形ＡＱＲＰは平行四辺形である。

$中点連結定理$

【練習問題７】
右図の四角形ＡＢＣＤで、４辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡの中点をそれぞれ、Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓとする。
このとき、四角形ＰＱＲＳが平行四辺形になることを証明しなさい。

　　≪答≫

　　★四角形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ，ＢＤをひく。

　　△ＡＢＤにおいて、ＡＰ＝ＰＢ，ＡＳ＝ＳＤなので、中点連結定理より、
　　ＰＳ∥ＢＤ　・・・(1)

　　△ＣＢＤにおいて、ＣＱ＝ＱＢ，ＣＲ＝ＲＤなので、中点連結定理より、
　　ＱＲ∥ＢＤ　・・・(2)

　　(1)と(2)より、
　　ＰＳ∥ＱＲ　・・・(3)

　　△ＤＡＣにおいて、ＤＳ＝ＳＡ，ＤＲ＝ＲＣなので、中点連結定理より、
　　ＳＲ∥ＡＣ　・・・(4)

　　△ＢＡＣにおいて、ＢＰ＝ＰＡ，ＢＱ＝ＱＣなので、中点連結定理より、
　　ＰＱ∥ＡＣ　・・・(5)

　　(4)と(5)より、
　　ＳＲ∥ＰＱ　・・・(6)

　　(3)と(6)より、
　　２組の向かい合う辺がそれぞれ平行なので、四角形ＰＱＲＳは平行四辺形である。

$中点連結定理$

【練習問題８】
右図の四角形ＡＢＣＤにおいて、２点Ｐ，Ｑはそれぞれ辺ＡＢ，ＤＣの中点で、２点Ｒ，Ｓはそれぞれ辺ＡＣ，ＢＤの中点である。
このとき、四角形ＰＳＱＲが平行四辺形になることを証明しなさい。

　　≪答≫
　　△ＡＢＣにおいて、ＡＰ＝ＰＢ，ＡＲ＝ＲＣなので、中点連結定理より、
　　ＰＲ∥ＢＣ　・・・(1)
　　ＰＲ＝１２ＢＣ　・・・(2)

　　△ＤＢＣにおいて、ＤＳ＝ＳＢ，ＤＱ＝ＱＣなので、中点連結定理より、
　　ＳＱ∥ＢＣ　・・・(3)
　　ＳＱ＝１２ＢＣ　・・・(2)

　　よって、(1)と(3)より、
　　ＰＲ∥ＳＱ

　　(2)と(4)より、
　　ＰＲ＝ＳＱ

　　１組の対辺の長さが等しくて平行なので、四角形ＰＳＱＲは平行四辺形である。