中学生 勉強なんて 怖くない
～ 勉強が苦手な中学生のために ～
- ＴＯＰ
- ＞
- 中学３年 数学 練習問題一覧
- ＞
- 三角形の相似条件と証明
勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。
～ 中学３年 数学 ～
Lesson 31 三角形の相似条件と証明
第５章 図形と相似
＜前：Ｌ３１- 三角形の相似条件と証明 の問題 Ｌ３２- 縮図の利用 の問題：次＞
【練習問題１】
以下の［１］～［３］に示した各組の三角形が相似であることを証明しなさい。
（※辺の長さの単位はcm）
［１］△ＡＢＣと△ＥＤＣ
≪答≫
△ＡＢＣと△ＥＤＣにおいて、
仮定より、
ＡＢ：ＥＤ ＝ １５：７．５ ＝ ２：１ ・・・①
ＢＣ：ＤＣ ＝ ８：４ ＝ ２：１ ・・・②
ＣＡ：ＣＥ ＝ １０：５ ＝ ２：１ ・・・③
①，②，③より、
ＡＢ：ＥＤ ＝ ＢＣ：ＤＣ ＝ ＣＡ：ＣＥ
３組の辺の比がすべて等しいので、
△ＡＢＣ ∽ △ＥＤＣ
［２］△ＡＢＣと△ＡＥＤ
≪答≫
△ＡＢＣと△ＡＥＤにおいて、
仮定より、
∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ ・・・①
∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＤ ・・・②
①，②より、
２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ ∽ △ＡＥＤ
［３］△ＡＢＣと△ＥＢＤ
≪答≫
△ＡＢＣと△ＥＢＤにおいて、
仮定より、
ＡＢ：ＥＢ ＝ ６：３ ＝ ２：１
ＢＣ：ＢＤ ＝ ４：２ ＝ ２：１
よって、
ＡＢ：ＥＢ ＝ ＢＣ：ＢＤ ・・・①
共通な角なので、
∠ＡＢＣ ＝ ∠ＥＢＤ ・・・②
①，②より、
２組の辺の比が等しく、その間の角が等しいので、
△ＡＢＣ ∽ △ＥＢＤ
【練習問題２】
右図において、ＡＤ∥ＢＣで、２つの線分ＡＣとＤＢ の交点をＰとする。
このとき、△ＡＤＰ∽△Ｃ ＢＰであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＤＰと△Ｃ ＢＰにおいて、
ＡＤ∥ＢＣで、錯覚は等しいので
∠ＰＡＤ ＝ ∠ＰＣ Ｂ ・・・①
∠ＰＤＡ ＝ ∠ＰＢＣ ・・・②
①，②より、
２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＤＰ ∽ △Ｃ ＢＰ
【練習問題３】
右図において、平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＢＣ上に点Ｐをとり頂点Ｄと結び、対角線ＡＣとの交点を点Ｑとする。
このとき、以下の質問に答えなさい。
（※辺の長さの単位はcm）
［１］ＡＱ：ＣＱ ＝ ＰＱ：ＤＱであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＱＤと△ＣＱＰにおいて、
ＡＤ∥ＢＣで、錯覚は等しいので
∠ＱＡＤ ＝ ∠ＱＣ Ｐ ・・・①
∠ＱＤＡ ＝ ∠ＱＰＣ ・・・②
①，②より、
２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＱＤ ∽ △ＣＱＰ
相似な図形で対応する辺の比は等しいので、
ＡＱ：ＣＱ ＝ ＰＱ：ＤＱ
［２］ＤＱの長さを求めなさい。
△ＡＱＤ ∽ △ＣＱＰなので、
ＡＤ：ＣＰ ＝ １３．５：７．５ ＝ ９：５ である。
ＤＥ＝ｘとすると、
ＤＱ：ＰＱ ＝ ｘ：５ ＝ ９：５ で、
x＝９
≪答≫ ＤＱ ： ９ｃｍ
【練習問題４】
右図のように、直角三角形ＡＢＣの頂点Ｂから辺ＡＣに垂線をひき、交点をＰとする。
このとき、以下の質問に答えなさい。
（※辺の長さの単位はcm）
［１］△ＡＢＰ ∽ △ＢＣ Ｐであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＢＰと△ＢＣ Ｐにおいて、
∠ＡＰＢ ＝ ∠Ｃ ＰＢ ＝ ９０° ・・・①
∠ＡＢＰ ＝ ９０°－ ∠ＣＢＰ ・・・②
∠ＢＣ Ｐ ＝ １８０°－９０°－ ∠ＣＢＰ
∠ＢＣ Ｐ ＝ ９０°－ ∠ＣＢＰ ・・・③
②，③より、
∠ＡＢＰ ＝ ∠ＢＣ Ｐ ・・・④
①，④より、
２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＰ ∽ △ＢＣ Ｐ
［２］ＡＣ の長さを求めなさい。
△ＡＢＰ ∽ △ＢＣ Ｐなので、
ＡＰ：ＢＰ ＝ ６．４：８ ＝ ４：５ である。
ＣＰ＝ｘとすると、
ＢＰ：ＣＰ ＝ ８：ｘ ＝ ４：５ で、
x＝１０
ＡＣ＝ＡＰ＋ＣＰなので、
６．４＋１０＝１６．４
≪答≫ ＡＣ ： １６．４ｃｍ
【練習問題５】
右図のように、平行四辺形ＡＢＣＤの辺ＤＣの延長線上に点Ｐをとり頂点Ａと結び、ＡＰとＢＣの交点をＱとする。
このとき、ＡＢ：ＰＤ ＝ ＢＱ：ＤＡであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＢＱと△ＰＤＡにおいて、
仮定より、平行線の錯覚は等しいので
∠ＢＡＱ ＝ ∠ＤＰＡ ・・・①
∠ＡＱＢ ＝ ∠ＰＡＤ ・・・②
①，②より、
２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＱ ∽ △ＰＤＡ
相似な図形で対応する辺の比は等しいので、
ＡＢ：ＰＤ ＝ ＢＱ：ＤＡ
【練習問題６】
右図のように、△ＡＢＣの頂点Ａから、辺ＢＣに向かって∠Ｂ＝∠ＣＡＰとなるように線分ＡＰをひく。
このとき、以下の質問に答えなさい。
（※辺の長さの単位はcm）
［１］△ＡＢＣ∽△ＰＡＣであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＢＣと△ＰＡＣにおいて、
仮定より、
∠ＡＢＣ ＝ ∠ＰＡＣ ・・・①
共通な角なので、
∠ＡＣ Ｂ ＝ ∠ＰＣＡ ・・・②
①，②より、
２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ ∽ △ＰＡＣ
［２］ＢＰの長さを求めなさい。
△ＡＢＣ ∽ △ＰＡＣなので、
ＢＣ：ＡＣ ＝ １２：９ ＝ ４：３ である。
ＰＣ＝ｘとすると、
ＡＣ：ＰＣ ＝ ９：ｘ ＝ ４：３ で、
x＝６．７５
ＢＰ＝ＢＣ－ＰＣなので、
１２－６．７５＝５．２５
≪答≫ ＢＰ ： ５．２５ｃｍ
＜前：Ｌ３１- 三角形の相似条件と証明 の問題 Ｌ３２- 縮図の利用 の問題：次＞
中１数学・練習問題一覧 中２数学・練習問題一覧 中３数学・練習問題一覧
