中学２年数学練習問題　一次関数の利用/面積・動点の文章題解答

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一次関数の利用（２）

勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

～　中学２年　数学　～

Lesson 25　　　　一次関数の利用（２）

第３章　一次関数

＜前：Ｌ２５- 一次関数の利用（２）の問題　　Ｌ２６- 一次関数の利用（３）の問題：次＞

$一次関数用長方形$

【練習問題１】
右図のように、点Ｐは長方形ＡＢＣＤの辺ＡＤ上をＡからＤに動く点である。
ＡＰ＝ｘｃｍのときの△ＡＢＰの面積をｙｃｍ²とするとき、以下の質問に答えなさい。

［１］　ｙをｘの式で表し、ｘの変域も答えなさい。

　　　　≪点Ｐが１ｃｍ動いたときの面積≫
　　　　　１０×１÷２＝５　（傾きａ＝５）

　　　　≪手がかり≫
　　　　　・点Ｐが１ｃｍ動いたとき（ｘ＝１）、面積は５ｃｍ²ずつ増える（ｙ＝５）。

　　　　≪ｙ＝ａｘ＋ｂに代入する≫
　　　　　５＝５×１＋ｂ
　　　　　ｂ＝０

　　　　　よって、式は　ｙ＝５ｘ

　　　　　※別の解き方
　　　　　△ＡＢＰは底辺１０ｃｍ、高さｘｃｍなので・・・
　　　　　ｙ＝１２×ｘ×１０
　　　　　ｙ＝５ｘ

　　　　≪答≫　式：ｙ＝５ｘ，　ｘの変域：０≦ｘ≦１５

［２］　ＡＰ＝１１ｃｍのとき、△ＡＢＰの面積を求めなさい。

　　　　≪ｙ＝５ｘに代入する≫
　　　　　ｙ＝５×１１
　　　　　ｙ＝５５

　　　　≪答≫　５５ｃｍ²

［３］　△ＡＢＰの面積が３５ｃｍ²のとき、ＡＰの長さを求めなさい。

　　　　≪ｙ＝５ｘに代入する≫
　　　　　３５＝５ｘ
　　　　　ｘ＝７

　　　　≪答≫　７ｃｍ

$一次関数用長方形$

【練習問題２】
右図のように、点Ｐは長方形ＡＢＣＤの辺ＡＤ上をＡからＤに動く点である。
ＡＰ＝ｘｃｍのとき、長方形ＡＢＣＤから△ＡＢＰの面積を引いた残りの面積（水色の部分）をｙｃｍ²とするとき、以下の質問に答えなさい。

［１］　ｙをｘの式で表し、ｘの変域も答えなさい。

　　　　≪水色の部分の面積ｙを求める式≫
　　　　　長方形の面積１５０ｃｍ²から△ＡＢＰを引く

　　　　　ｙ＝１５０－（ｘ×１０÷２）
　　　　　ｙ＝－５ｘ＋１５０

　　　　≪答≫　式：ｙ＝－５ｘ＋１５０，　ｘの変域：０≦ｘ≦１５

［２］　ＡＰ＝９ｃｍのとき、水色の部分の面積を求めなさい。

　　　　≪ｙ＝－５ｘ＋１５０に代入する≫
　　　　　ｙ＝－５×９＋１５０
　　　　　ｙ＝１０５

　　　　≪答≫　１０５ｃｍ²

［３］　水色の部分の面積が８０ｃｍ²のとき、ＡＰの長さを求めなさい。

　　　　≪ｙ＝－５ｘ＋１５０に代入する≫
　　　　　８０＝－５ｘ＋１５０
　　　　　ｘ＝１４

　　　　≪答≫　１４ｃｍ
　

$一次関数用長方形$
$一次関数用グラフ$

【練習問題３】
右図のような長方形ＡＢＣＤがある。
点Ｐは１秒で１ｃｍの速さで、Ａから出発して周上をＢ→Ｃ→Ｄと移動する。
点ＰがＡを出発してｘｃｍ秒後の△ＰＤＡの面積をｙｃｍ²とするとき、以下の質問に答えなさい。

［１］　ｘとｙの関係をグラフにかきなさい。

　　　　≪答≫　右グラフ、赤線参照

［２］　点Ｐがア～ウのときのｘとｙの関係を式に表しなさい。
　　　ア）ＡＢ上　　イ）ＢＣ上　　ウ）ＣＤ上

　　　　　アとイはグラフから求められる。
　　　　　ア：ｙ＝２ｘ
　　　　　イ：ｙ＝６

　　　　≪ウの式を求める≫
　　　　　グラフから傾きは－２とわかる。
　　　　　ｘ＝１０、ｙ＝０の座標を通る。

　　　　≪ｙ＝ａｘ＋ｂに代入する≫

　　　　　０＝－２×１０＋ｂ
　　　　　ｂ＝２０

　　　　　よって、
　　　　　ウ：ｙ＝－２ｘ＋２０

　　　　≪答≫　ア：ｙ＝２ｘ，　イ：ｙ＝６，　ウ：ｙ＝－２ｘ＋２０

［３］　点ＰがＡを出発後、エ～カのときの△ＰＤＡの面積を求めなさい。
　　　エ）２秒後　　オ）５秒後　　カ）９秒後

　　　　≪エの面積を求める≫
　　　　　０≦ｘ≦３なので、アのｙ＝２ｘの式に代入する。

　　　　　ｙ＝２×２
　　　　　ｙ＝４

　　　　≪オの面積を求める≫
　　　　　４≦ｘ≦７なので、イの式より・・・
　　　　　ｙ＝１２

　　　　≪カの面積を求める≫
　　　　　７≦ｘ≦１０なので、ウのｙ＝－２ｘ＋２０の式に代入する。

　　　　　ｙ＝－２×９＋２０
　　　　　ｙ＝２

　　　　≪答≫　エ：４ｃｍ²，　オ：１２ｃｍ²，　カ：２ｃｍ²

［４］　△ＰＤＡの面積が３ｃｍ²になるのは何秒後か求めなさい。

　　　　≪アとウの２つの式に代入する≫
　　　　　ｙ＝２ｘ　・・・ア
　　　　　３＝２ｘ
　　　　　ｘ＝１．５

　　　　　ｙ＝－２ｘ＋２０　・・・ウ
　　　　　３＝－２ｘ＋２０
　　　　　ｘ＝８．５

　　　　≪答≫　１．５秒後　と　８．５秒後

$一次関数のグラフ$
$一次関数のグラフ$

【練習問題４】
右図のように１辺が３ｃｍの正方形と、縦４ｃｍ・横５ｃｍの長方形があり、となり合わせの位置から矢印のように水平方向に正方形を動かす。
正方形をｘｃｍ動かしたときの正方形と長方形が重なる面積をｙｃｍ²とするとき、以下の質問に答えなさい。

［１］　ｘとｙの関係をグラフにかきなさい。

　　　　≪答≫　右グラフ、赤線参照

［２］　重なる部分の面積が９ｃｍ²になるのは、正方形を何ｃｍ～何ｃｍ
　　　　動かしたときか答えなさい。

　　　　　グラフで、ｙ＝９のときのｘ軸を参照する

　　　　≪答≫　３ｃｍから５ｃｍの間

［３］　正方形を２ｃｍと７ｃｍ動かしたときの重なる部分の面積を
　　　　求めなさい。

　　　　≪２ｃｍのときの面積を求める≫
　　　　　０≦ｘ≦３のときの直線の式は・・・
　　　　　９＝ａ×３
　　　　　ａ＝３

　　　　　式：ｙ＝３ｘ

　　　　　ｘに２を代入すると・・・
　　　　　ｙ＝３×２
　　　　　ｙ＝６

　　　　≪７ｃｍのときの面積を求める≫
　　　　　５≦ｘ≦８のときの直線の式は・・・
　　　　　グラフより傾きは「－３」とわかるので、
　　　　　０＝－３×８＋ｂ
　　　　　ｂ＝２４

　　　　　式：ｙ＝－３ｘ＋２４

　　　　　ｘに７を代入すると・・・
　　　　　ｙ＝－３×７＋２４
　　　　　ｙ＝３

　　　　≪答≫　２ｃｍのとき：６ｃｍ²，　７ｃｍのとき：３ｃｍ²

$一次関数のグラフ$

【練習問題５】
右図で、点Ｏは原点で、点Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇはそれぞれ線分ＡＢ，ＢＯ，ＯＣ，ＡＣ上の点である。
以下のヒントを手がかりに質問に答えなさい。

　「ヒント」
　　・座標は、点Ｅ（－２，０）、点Ｆ（２，０）
　　・線分ＡＢの直線の式の傾きは、２
　　・線分ＡＣの直線の式の傾きは、－２
　　・点Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇを結んだ線は正方形になる

［１］　点Ｄ、Ｇの座標を求めなさい。

　　　　≪答≫　点Ｄ（－２，４）、　点Ｇ（２，４）

［２］　点Ａ，Ｂ，Ｃの座標を求めなさい。

　　　　≪線分ＡＢの直線の式を求める≫
　　　　　点Ｄ（－２，４）　と　傾き２　を　ｙ＝ａｘ＋ｂ　に代入する
　　　　　４＝２×（－２）＋ｂ
　　　　　ｂ＝８
　　　　　よって、
　　　　　ｙ＝２ｘ＋８　・・・①

　　　　≪線分ＡＣの直線の式を求める≫
　　　　　点Ｇ（２，４）　と　傾き－２　を　ｙ＝ａｘ＋ｂ　に代入する
　　　　　４＝－２×２＋ｂ
　　　　　ｂ＝８
　　　　　よって、
　　　　　ｙ＝－２ｘ＋８　・・・②

　　　　≪点Ａの座標を求める≫
　　　　　①の式にｘ＝０を代入する（②の式でもＯＫ）
　　　　　ｙ＝２×０＋８
　　　　　ｙ＝８
　　　　　よって、
　　　　　点Ａの座標は、（０，８）

　　　　≪点Ｂの座標を求める≫
　　　　　①の式にｙ＝０を代入する
　　　　　０＝２ｘ＋８
　　　　　ｘ＝－４
　　　　　よって、
　　　　　点Ｂの座標は、（－４，０）

　　　　≪点Ｃの座標を求める≫
　　　　　②の式にｙ＝０を代入する
　　　　　０＝－２ｘ＋８
　　　　　ｘ＝４
　　　　　よって、
　　　　　点Ｃの座標は、（４，０）

　　　　≪答≫　点Ａ（０，８）、　点Ｂ（－４，０）、　点Ｃ（４，０）

［３］　△ＡＤＧの面積を求めなさい。
　　　　　△ＡＤＧの　底面（ＤＧ）＝４、高さ＝４なので、
　　　　　４×４÷２＝８

　　　　≪答≫　△ＡＤＧの面積：８

［４］　△ＡＢＣの面積を求めなさい。
　　　　　△ＡＢＣの底面（ＢＣ）＝８、高さ（ＡＯ）＝８なので、
　　　　　８×８÷２＝３２

　　　　≪答≫　△ＡＢＣの面積：３２