勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

~ 中学3年 数学 ~

Lesson 44   三平方の定理/空間図形への利用(1)

第7章 三平方の定理

<前:L44- 空間図形への利用(1) の問題   L45- 空間図形への利用(2) の問題:次>


三平方の定理

【練習問題1】
右の図形の対角線の長さをそれぞれ求めなさい。
  ※長さの単位はcmとする

[1] 図形は立方体

  <EGの長さを求める>
   EG2=EF2+FG2なので、
   EG2=22+22
     =8
   EG=±平方根
     =±2平方根

   >0なので、
   EG=2平方根

  <AGの長さを求める>
   AG2=AE2+EG2なので、
   AG2=22+(2平方根2
     =4+8
     =12
   AG=±平方根12
     =±2平方根

   >0なので、
   AG=2平方根

  ≪答≫ 2平方根 cm

  ※別の解き方
   1辺がcmの立方体の対角線の長さは、
   平方根222
   =平方根2
   =平方根

   よって、1辺が2cmの立方体の対角線の長さは、
   =2平方根 cm

三平方の定理

[2] 図形は直方体

  <EGの長さを求める>
   EG2=EF2+FG2なので、
   EG2=62+52
     =61
   EG=±平方根61

   >0なので、
   EG=平方根61

  <CEの長さを求める>
   CE2=CG2+EG2なので、
   CE2=42平方根612
     =16+61
     =77
   CE=±平方根77

   >0なので、
   CE=平方根77

  ≪答≫ 平方根77 cm

  ※別の解き方
   3辺の長さがcm,cm,cmの直方体の対角線の長さは、
   平方根222

   よって、1辺が4cm,5cm,6cm,の直方体の対角線の長さは、
   平方根222
   =平方根16+25+36
   =平方根77 cm

三平方の定理

【練習問題2】
右の正四角すいについて、以下質問に答えなさい。
  ※長さの単位はcmとする

[1] 高さを求めなさい。

  <BFの長さを求める>
   BF2+CF2=BC2で、BF=CFなので、
   2BF2=22
    BF2=2
   BF=±平方根

   >0なので、
   BF=平方根

  <AFの長さを求める>
   BF2+AF2=AB2なので、
   平方根2+AF2=32
   AF2=7
   AF=±平方根

   >0なので、
   AF=平方根

  ≪答≫ 平方根 cm

[2] 体積を求めなさい。
   ×2×2×平方根
   =平方根

  ≪答≫ 平方根 cm3

三平方の定理

【練習問題3】
右の正四角すいについて、以下質問に答えなさい。
  ※長さの単位はcmとする

[1] ABの長さを求めなさい。

  <BFの長さを求める>
   BF2+CF2=BC2で、BF=CFなので、
   2BF2=42
    BF2=8
    BF=±2平方根

   >0なので、
   BF=2平方根

  <ABの長さを求める>
   AB2=BF2+AF2なので、
   AB2=(2平方根2+62
   AB2=44
   AB=±2平方根11

   >0なので、
   AB=2平方根11

  ≪答≫ 2平方根11 cm

[2] 表面積を求めなさい。

  点AからBCに垂線をひき、BCとの交点を点Pとする。
  APは△ABCにおける高さとなる。

  <APの長さを求める>
   AP2+BP2=AB2,BP=4÷2=2(cm)なので、
   AP2+22=(2平方根112
   AP2=40
   AP=±2平方根10

   >0なので、
   AP=2平方根10

  <側面積を求める>
   (4×2平方根10÷2)×4
   =16平方根10(cm2

  <底面積を求める>
   4×4=16(cm2

  <表面積を求める>
   (16+16平方根10)cm2

  ≪答≫ (16+16平方根10)cm2

三平方の定理

【練習問題4】
右の円すいについて、以下質問に答えなさい。
  ※長さの単位はcmとする

[1] 高さを求めなさい。

   半径2+高さ2=母線2なので、
   22+高さ2=32
   高さ2=5
   高さ=±平方根

   >0なので、
   高さ=平方根

  ≪答≫ 平方根 cm

[2] 体積を求めなさい。

   ×π×22×平方根
   =平方根π

  ≪答≫ 平方根π cm3

三平方の定理

【練習問題5】
右の円すいについて、以下質問に答えなさい。
  ※長さの単位はcmとする

[1] 母線の長さを求めなさい。

   母線2=半径2+高さ2なので、
   母線2=42+62
   母線2=52
   母線=±2平方根13

   >0なので、
   母線=2平方根13

  ≪答≫ 2平方根13 cm

[2] 表面積を求めなさい。

  <底面の円周(=側面のおうぎ形の弧の長さ)>
   2π×4=8π

  <半径(母線)2平方根13 cmの円の円周>
   2π×2平方根13=4平方根13π

  <側面積>
   π×(2平方根132×8π平方根13π
   =52π×平方根13
   =104π平方根13

   有理化すると、
   104π×平方根13平方根13×平方根13
   =104平方根13π13
   =8平方根13π

  <底面積>
   π×42=16π

  <側面積+底面積>
   8平方根13π+16π

  ≪答≫ (8平方根13π+16π) cm2

  ※別の解き方
   円すいの表面積=円周率×底面の円の半径×(母線+底面の円の半径)でも計算できます。
   つまり、
   π×4(2平方根13+4)
   =8平方根13π+16π

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