中学生 勉強なんて 怖くない
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勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。
~ 中学3年 数学 ~
Lesson 44 三平方の定理/空間図形への利用(1)
第7章 三平方の定理
<前:L44- 空間図形への利用(1) の問題 L45- 空間図形への利用(2) の問題:次>
【練習問題1】
右の図形の対角線の長さをそれぞれ求めなさい。
※長さの単位はcmとする
[1] 図形は立方体
<EGの長さを求める>
EG2=EF2+FG2なので、
EG2=22+22
=8
EG=±8
=±22
x>0なので、
EG=22
<AGの長さを求める>
AG2=AE2+EG2なので、
AG2=22+(22)2
=4+8
=12
AG=±12
=±23
x>0なので、
AG=23
≪答≫ 23 cm
※別の解き方
1辺がacmの立方体の対角線の長さは、
a2+a2+a2
=3a2
=3a
よって、1辺が2cmの立方体の対角線の長さは、
=23 cm
[2] 図形は直方体
<EGの長さを求める>
EG2=EF2+FG2なので、
EG2=62+52
=61
EG=±61
x>0なので、
EG=61
<CEの長さを求める>
CE2=CG2+EG2なので、
CE2=42+612
=16+61
=77
CE=±77
x>0なので、
CE=77
≪答≫ 77 cm
※別の解き方
3辺の長さがacm,bcm,ccmの直方体の対角線の長さは、
a2+b2+c2
よって、1辺が4cm,5cm,6cm,の直方体の対角線の長さは、
42+52+62
=16+25+36
=77 cm
【練習問題2】
右の正四角すいについて、以下質問に答えなさい。
※長さの単位はcmとする
[1] 高さを求めなさい。
<BFの長さを求める>
BF2+CF2=BC2で、BF=CFなので、
2BF2=22
BF2=2
BF=±2
x>0なので、
BF=2
<AFの長さを求める>
BF2+AF2=AB2なので、
22+AF2=32
AF2=7
AF=±7
x>0なので、
AF=7
≪答≫ 7 cm
[2] 体積を求めなさい。
13×2×2×7
=473
≪答≫ 473 cm3
【練習問題3】
右の正四角すいについて、以下質問に答えなさい。
※長さの単位はcmとする
[1] ABの長さを求めなさい。
<BFの長さを求める>
BF2+CF2=BC2で、BF=CFなので、
2BF2=42
BF2=8
BF=±22
x>0なので、
BF=22
<ABの長さを求める>
AB2=BF2+AF2なので、
AB2=(22)2+62
AB2=44
AB=±211
x>0なので、
AB=211
≪答≫ 211 cm
[2] 表面積を求めなさい。
点AからBCに垂線をひき、BCとの交点を点Pとする。
APは△ABCにおける高さとなる。
<APの長さを求める>
AP2+BP2=AB2,BP=4÷2=2(cm)なので、
AP2+22=(211)2
AP2=40
AP=±210
x>0なので、
AP=210
<側面積を求める>
(4×210÷2)×4
=1610(cm2)
<底面積を求める>
4×4=16(cm2)
<表面積を求める>
(16+1610)cm2
≪答≫ (16+1610)cm2
【練習問題4】
右の円すいについて、以下質問に答えなさい。
※長さの単位はcmとする
[1] 高さを求めなさい。
半径2+高さ2=母線2なので、
22+高さ2=32
高さ2=5
高さ=±5
x>0なので、
高さ=5
≪答≫ 5 cm
[2] 体積を求めなさい。
13×π×22×5
=453π
≪答≫ 453π cm3
【練習問題5】
右の円すいについて、以下質問に答えなさい。
※長さの単位はcmとする
[1] 母線の長さを求めなさい。
母線2=半径2+高さ2なので、
母線2=42+62
母線2=52
母線=±213
x>0なので、
母線=213
≪答≫ 213 cm
[2] 表面積を求めなさい。
<底面の円周(=側面のおうぎ形の弧の長さ)>
2π×4=8π
<半径(母線)213 cmの円の円周>
2π×213=413π
<側面積>
π×(213)2×8π413π
=52π×213
=104π13
有理化すると、
104π×1313×13
=10413π13
=813π
<底面積>
π×42=16π
<側面積+底面積>
813π+16π
≪答≫ (813π+16π) cm2
※別の解き方
円すいの表面積=円周率×底面の円の半径×(母線+底面の円の半径)でも計算できます。
つまり、
π×4(213+4)
=813π+16π
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