中学生 勉強なんて 怖くない
～ 勉強が苦手な中学生のために ～
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勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。
～ 中学３年 数学 ～
Lesson 8 式の展開・因数分解の利用
第１章 式の展開と因数分解
＜前：Ｌ８- 式の展開・因数分解の利用 の問題 『第１章 式の展開と因数分解』の復習テスト の問題：次＞
【練習問題１】
連続する２つの偶数の積に１をたすと、その２つの偶数の間の奇数の２乗になる。
このことを証明しなさい。
≪答≫
連続した２つの偶数は、ｎを整数とすると、
２ｎ、 ２ｎ＋２
と表される。
この２つの数の積に１をたした数は、
２ｎ（２ｎ＋２）＋１
＝４ｎ2＋４ｎ＋１
＝（２ｎ＋１）2
となる。
２ｎ＋１は、２ｎと２ｎ＋２にはさまれた奇数である。
したがって、連続する２つの偶数の積に１を加えると、その２つの偶数にはさまれる奇数の２乗となる。
【練習問題２】
連続する２つの奇数の積に１をたすと、その２つの奇数の間の偶数の２乗になる。
このことを証明しなさい。
≪答≫
連続した２つの奇数は、ｎを整数とすると、
２ｎ＋１、 ２ｎ＋３
と表される。
この２つの数の積に１をたした数は、
（２ｎ＋１）（２ｎ＋３）＋１
＝４ｎ2＋８ｎ＋４
＝（２ｎ＋２）2
となる。
２ｎ＋２は、２ｎ＋１と２ｎ＋３にはさまれた偶数である。
したがって、連続する２つの奇数の積に１を加えると、その２つの奇数にはさまれる偶数の２乗となる。
【練習問題３】
連続する３つの自然数の真ん中の数の２乗から１をひくと、その他の２つの数の積になる。
このことを証明しなさい。
≪答≫
真ん中の数をｎをとすると、連続する３つの自然数は、
ｎ－１、 ｎ、 ｎ＋１
と表される。
真ん中の数の２乗から１を引いた数は、
ｎ2－１
＝ｎ2－１2
＝（ｎ＋１）（ｎ－１）
である。
また、その他の２つの数の積も
（ｎ＋１）（ｎ－１）
である。
したがって、連続する３つの自然数の真ん中の数の２乗から１をひくと、その他の２つの数の積になる。
【練習問題４】
右図のように、半径ｒの円のまわりに、水色で示した幅 ａの道がついている。
道の真ん中を通る円周の長さをｍ、道の面積をSとすると、
S＝ａｍとなる。
このことを証明しなさい。
≪答≫
道の面積Sを求めると、
S＝π（ｒ＋ ａ）2－πｒ2
＝π（ｒ2＋２ｒａ＋ ａ2）－πｒ2
＝πｒ2＋２πｒａ＋ πａ2－πｒ2
＝２πｒａ＋ πａ2
となる。
道の真ん中を通る円の半径は、ｒ＋ａ２なので、その周の長さｍは、
ｍ＝２π（ｒ＋ａ２）
＝２πｒ＋πａ
となる。
だから、
ａｍ＝ａ（２πｒ＋πａ）
＝２πｒａ＋ πａ2
したがって、S＝ａｍとなる。
【練習問題５】
右図のように、大きい円の内側にぴったり入るような円Ｏと円Ｐがある。
円Ｏの半径を ａ、円Ｐの半径を ｂとしたとき、水色で示した面積Ｓは、
Ｓ ＝ ２πａｂとなる。
このことを証明しなさい。
≪答≫
大きい円の半径は ａ＋ｂなので、
S＝π（ａ＋ｂ）2－πａ2－πｂ2
＝π（ａ2＋２ａｂ＋ｂ2）－πａ2－πｂ2
＝πａ2＋２πａｂ＋πｂ2－πａ2－πｂ2
＝２πａｂ
したがって、Ｓ＝２πａｂとなる。
【練習問題６】
右はある国の国旗である。
この国旗の縦の長さを５ｘ、横の長さを８ｘ、黄色い部分の幅を１としたとき、
以下の質問に答えなさい。
［１］ 青色の部分の面積をｘを使って表しなさい。
縦：５ｘ－１、 横：８ｘ－１
（５ｘ－１）（８ｘ－１）
＝４０ｘ2－５ｘ－８ｘ＋１
＝４０ｘ2－１３ｘ＋１
≪答≫ ４０ｘ2－１３ｘ＋１
［知］ どこの国の国旗か答えなさい。
≪答≫ スウェーデン
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