中学３年数学練習問題　三平方の定理/定期テスト対策問題

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『第７章　三平方の定理』の復習テスト

勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

～　中学３年　数学　～

『第７章　三平方の定理』の復習テスト

第７章　三平方の定理

＜前：『第７章　三平方の定理』の復習テストの問題　　Ｌ４６- 標本調査の問題：次＞

$三平方の定理$

【練習問題１】　　（参照　：　Lesson41　Lesson42 ）
右図の円Ｏは半径４ｃｍの円である。
この円Ｏに２本の接線をひき、円との接点をそれぞれ点Ａ，Ｂとし、接線の交点を点Ｐとする。
四角形ＯＡＰＢの面積が３２ｃｍ²のとき、ＯＰの長さを求めなさい。

　＜△ＡＯＰの面積を求める＞
　　△ＡＯＰ＝△ＢＯＰなので、
　　△ＡＯＰ＝３２÷２＝１６（ｃｍ²）

　＜△ＡＰの長さを求める＞
　　ＡＰ×４÷２＝１６
　　ＡＰ＝８（ｃｍ）

　＜ＯＰの長さを求める＞
　　ＯＰ²＝４²＋８²
　　ＯＰ²＝８０

　　ＯＰ＝± $平方根$ ８０
　　　　＝±４ $平方根$ ５

　　ＯＰ＞０なので、
　　ＯＰ＝４ $平方根$ ５

　　≪答≫　４ $平方根$ ５ｃｍ

$三平方の定理$

【練習問題２】　　（参照　：　Lesson41　Lesson42 ）
右図の直角三角形ＡＢＣで、点ＡからＢＣに垂線をひき、ＢＣとの交点を点Ｐとする。
このとき以下の質問に答えなさい。
　　※長さの単位はｃｍとする

［１］　ＡＣの長さを求めなさい。

　　△ＡＢＣと△ＰＡＣにおいて、
　　∠ＢＡＣ＝ＡＰＣ＝９０°　・・・①
　　∠Ｃ＝∠Ｃ　・・・②
　　①，②より
　　△ＡＢＣ∽ＰＡＣ

　＜ＡＣを相似比を使って求める＞
　　ＢＣ：ＡＣ＝ＡＣ：ＰＣなので、
　　１６：ＡＣ＝ＡＣ：１０
　　（ＡＣ）²＝１６０
　　ＡＣ＝± $平方根$ １６０
　　　　＝±４ $平方根$ １０

　　ＡＣ＞０なので、
　　ＡＣ＝４ $平方根$ １０

　　≪答≫　４ $平方根$ １０ｃｍ

［２］　ＡＰの長さを求めなさい。

　　△ＰＡＣにおいて、
　　ＡＰ²＋１０²＝（４ $平方根$ １０）²
　　ＡＰ²＝６０

　　ＡＰ＝± $平方根$ ６０
　　　　＝±２ $平方根$ １５

　　ＡＰ＞０なので、
　　ＡＰ＝２ $平方根$ １５

　　≪答≫　２ $平方根$ １５ｃｍ

$三平方の定理$

【練習問題３】　　（参照　：　Lesson41　Lesson42　Lesson43 ）
右図の△ＡＢＣの各座標はＡ（－２，４），Ｂ（－７，－８），Ｃ（２，－２）である。
このとき以下の質問に答えなさい。

［１］　ＡＢ，ＢＣ，ＣＡの長さをそれぞれ求めなさい。

　＜ＡＢの長さを求める＞
　　　 $平方根$ ｛－２－（－７）｝²＋｛４－（－８）｝²
　　＝ $平方根$ ２５＋１４４
　　＝ $平方根$ １６９
　　＝１３

　＜ＢＣの長さを求める＞
　　　 $平方根$ （－７－２）²＋｛－８－（－２）｝²
　　＝ $平方根$ ８１＋３６
　　＝ $平方根$ １１７
　　＝３ $平方根$ １３

　＜ＣＡの長さを求める＞
　　　 $平方根$ ｛２－（－２）｝²＋（－２－４）²
　　＝ $平方根$ １６＋３６
　　＝ $平方根$ ５２
　　＝２ $平方根$ １３

　　≪答≫　ＡＢ：１３，　ＢＣ：３ $平方根$ １３，　ＣＡ：２ $平方根$ １３

［２］　△ＡＢＣはどのような三角形か答えなさい。

　　ＢＣ²＋ＣＡ²＝ＡＢ²にあてはめてみる
　　（３ $平方根$ １３）²＋（２ $平方根$ １３）²＝１３²
　　１１７＋５２＝１６９
　　１６９＝１６９

　　ＢＣ²＋ＣＡ²＝ＡＢ²が成り立つので、
　　△ＡＢＣは直角三角形である

　　≪答≫　直角三角形

［３］　△ＡＢＣの面積を求めなさい。

　　　３ $平方根$ １３×２ $平方根$ １３÷２
　　＝３９

　　≪答≫　３９

$三平方の定理$

【練習問題４】　　（参照　：　Lesson41　Lesson42 ）
右図の△ＡＢＣの面積を求めなさい。
　　※長さの単位はｃｍとする

　　点Ａから辺ＢＣに垂線をひき、交点を点Ｐ，ＢＰをｘｃｍとする

　＜２つの三角形について、三平方の定理を利用して表す＞
　　△ＡＢＰは、
　　ＡＰ²＋ｘ²＝８²
　　ＡＰ²＝８²－ｘ²

　　△ＡＣＰは、
　　ＡＰ²＋（１２－ｘ）²＝１０²
　　ＡＰ²＝１０²－（１２－ｘ）²

　＜ＡＰ²について以下が成り立つ＞
　　８²－ｘ²＝１０²－（１２－ｘ）²

　　上の式を展開すると、
　　６４－ｘ²＝１００－（１４４－２４ｘ＋ｘ²）
　　６４－ｘ²＝１００－１４４＋２４ｘ－ｘ²
　　２４ｘ＝１０８
　　　　ｘ＝９２

　＜ＡＰの値を求める＞
　　ＡＰ²＝８²－ｘ²にｘ＝９２を代入する
　　ＡＰ²＝８²－（９２）²
　　　　　＝６４－８１４
　　　　　＝１７５４

　　ＡＰ＝ $平方根$ １７５４
　　　　＝５ $平方根$ ７２

　＜△ＡＢＣの面積を求める＞
　　　１２×５ $平方根$ ７２÷２
　　＝１５ $平方根$ ７

　　≪答≫　１５ $平方根$ ７ｃｍ²

$三平方の定理$

【練習問題５】　　（参照　：　Lesson41　Lesson42　Lesson44　Lesson45 ）
右図は、底面の正方形１辺の長さが１２ｃｍで、容量が８６４ｍｌの正四角すいＯＡＢＣＤの容器を水平に置き、そこに水を入れたものである。
このとき以下の質問に答えなさい。

［１］　ＡＯの長さを求めなさい。

　　辺ＡＢ側から側面を真横から見ると、右の下図のようになる

　＜容器の高さ（ＰＯ）を求める＞
　　容器の高さをｘｃｍとする
　　１２×１２×ｘ÷３＝８６４（ｍｌ）
　　ｘ＝１８（ｃｍ）
　　★容器の高さは、１８ｃｍ

$三平方の定理$

　＜ＡＯの長さを求める＞
　　ＡＰ＝６ｃｍ，ＰＯ＝１８ｃｍなので、
　　ＡＯ²＝６²＋１８²
　　　　　＝３６０

　　ＡＯ＝± $平方根$ ３６０
　　　　＝±６ $平方根$ １０

　　ＡＯ＞０なので、
　　ＡＯ＝６ $平方根$ １０

　　≪答≫　６ $平方根$ １０ｃｍ

［２］　水面の１辺が４ｃｍのとき、水が入っていない部分の容量を求めなさい。

　＜ＱＯの長さを求める＞
　　ＲＳ：ＡＢ＝ＱＯ：ＰＯなので、
　　４：１２＝ＱＯ：１８
　　ＱＯ＝６（ｃｍ）

　＜水の部分の容量を求める＞
　　４×４×６÷３＝３２（ｍｌ）

　＜水の入っていない部分の容量を求める＞
　　８６４－３２＝８３２（ｍｌ）

　　≪答≫　８３２ｍｌ

$三平方の定理$

【練習問題６】　　（参照　：　Lesson41　Lesson42　Lesson44　Lesson45 ）
右図の円すいの展開図について、以下の質問に答えなさい。
　　※長さの単位はｃｍとする

［１］　母線の長さを求めなさい。

　＜おうぎ形の弧の長さを求める＞
　　おうぎ形の弧の長さ＝底面の円周なので、
　　２π×２＝４π（ｃｍ）

　＜母線（おうぎ形の半径）を求める＞
　　母線をｒｃｍとすると、
　　２πｒ×６０３６０＝４π（ｃｍ）
　　ｒ＝１２（ｃｍ）

　　≪答≫　１２ｃｍ

$三平方の定理$

［２］　円すいの体積を求めなさい。

　　展開図を組み立てると、右の下図ような円すいになる

　＜円すいの高さを求める＞
　　三平方の定理より、
　　２²＋高さ²＝１２²
　　高さ²＝１４０

　　高さ＝± $平方根$ １４０
　　　　＝±２ $平方根$ ３５

　　高さ＞０なので、
　　高さ＝２ $平方根$ ３５（ｃｍ）

　＜円すいの体積を求める＞
　　　π×２²×２ $平方根$ ３５÷３
　　＝８ $平方根$ ３５３π

　　≪答≫　８ $平方根$ ３５３π ｃｍ³

$三平方の定理$

【練習問題７】　　（参照　：　Lesson41　Lesson42　Lesson44　Lesson45 ）
右図の正三角柱は底面の正三角形の１辺の長さが４ｃｍで、表面積は７２ $平方根$ ３ｃｍ²である。
このとき以下の質問に答えなさい。

［１］　底面の面積を求めなさい。

　＜底面の正三角形の高さを求める＞
　　三平方の定理より、
　　２²＋高さ²＝４²
　　高さ²＝１２

　　高さ＝± $平方根$ １２
　　　　＝±２ $平方根$ ３

　　高さ＞０なので、
　　高さ＝２ $平方根$ ３（ｃｍ）

　＜底面の正三角形の面積を求める＞
　　４×２ $平方根$ ３÷２＝４ $平方根$ ３（ｃｍ²）

　　≪答≫　４ $平方根$ ３ｃｍ²

［２］　正三角柱の体積を求めなさい。

　＜側面積の四角形１枚の面積を求める＞
　　７２ $平方根$ ３－（２×４ $平方根$ ３）＝６４ $平方根$ ３（ｃｍ²）
　　６４ $平方根$ ３÷４＝１６ $平方根$ ３（ｃｍ²）

　　★四角形１枚の面積は、１６ $平方根$ ３ｃｍ²

　＜側面積の四角形の縦（＝正三角柱の高さ）の長さを求める＞
　　四角形の縦をｘｃｍとする
　　４×x＝１６ $平方根$ ３
　　x＝４ $平方根$ ３（ｃｍ）

　　★正三角柱の高さは、４ $平方根$ ３ｃｍ

　＜正三角柱の体積を求める＞
　　４ $平方根$ ３×４ $平方根$ ３＝４８（ｃｍ³）

　　★正三角柱の体積は、４８ｃｍ³

　　≪答≫　４８ｃｍ³

［３］　点Ｐを辺ＣＦの中点としたとき、△ＡＰＥの面積を求めなさい。

　＜ＡＥの長さを求める＞
　　ＡＥ²＝４²＋（４ $平方根$ ３）²
　　　　　＝６４

　　ＡＥ＝±８

　　ＡＥ＞０なので、
　　ＡＥ＝８（ｃｍ）

　＜ＡＰ（＝ＥＰ）の長さを求める＞
　　ＣＰ＝４ $平方根$ ３÷２
　　　　＝２ $平方根$ ３

　　ＡＰ²＝４²＋（２ $平方根$ ３）²
　　　　　＝２８

　　ＡＰ＝± $平方根$ ２８
　　　　＝±２ $平方根$ ７

　　ＡＰ＞０なので、
　　ＡＰ＝２ $平方根$ ７（ｃｍ）

　＜△ＡＰＥの高さを求める＞
　　△ＡＰＥの高さをＰＱとする

　　ＰＱ²＋ＡＱ²＝ＡＰ²なので、
　　ＰＱ²＋４²＝（２ $平方根$ ７）²
　　ＰＱ²＝１２

　　ＰＱ＝± $平方根$ １２
　　　　＝±２ $平方根$ ３

　　ＰＱ＞０なので、
　　ＰＱ＝２ $平方根$ ３（ｃｍ）

　＜△ＡＰＥの面積を求める＞
　　８×２ $平方根$ ３÷２＝８ $平方根$ ３（ｃｍ²）

　　≪答≫　８ $平方根$ ３ｃｍ²

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