中学生 勉強なんて 怖くない
～ 勉強が苦手な中学生のために ～
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勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。
～ 中学３年 数学 ～
『 第６章 円 』 の復習テスト
第６章 円
【練習問題１】 （ 参照 ： Lesson38 ）
以下の∠ｘの大きさを求めなさい。
[１]
円周角の定理より、
∠ＢＤＣ＝∠ＢＡＣ＝６２°
ｘ＝６２°＋２３°＝８５°
≪答≫ ８５°
[２]
∠ＢＯＣの外側の角度は、
３６０°－１４０°＝２２０°
円周角の定理より、
ｘ＝２２０°÷２＝１１０°
≪答≫ １１０°
[３]
△ＯＡＣはＯＡ＝ＯＣなので、
∠ＯＡＣ＝２６°
円周角の定理より、
∠ＢＡＣ＝９０°
よって、
ｘ＝９０°－２６°＝６４°
≪答≫ ６４°
[４]
⌒ＢＤは、⌒ＢＣの３倍の長さなので、
∠ＢＥＤも∠ＢＡＣの３倍の大きさとなる。
よって、
ｘ＝２８°×３＝８４°
≪答≫ ８４°
【練習問題２】 （ 参照 ： Lesson38 Lesson39 ）
以下の∠ｘの大きさを求めなさい。
[１]
円に内接する四角形の向かい合う内角の
和は１８０°なので、
∠ＡＤＣ＝１８０°－７６°＝１０４°
よって、
ｘ＝１８０－（１０４°＋４４°）＝３２°
≪答≫ ３２°
[２]
円に内接する四角形の１つの内角は、
それに向かい合う内角のとなりにある外角に
等しいので、
∠ＢＡＤ＝１０５°
∠ＣＡＤ＝１０５°－４０°＝６５°
よって、円周角の定理より、
ｘ＝∠ＣＡＤ＝６５°
≪答≫ ６５°
[３]
ＯＰに線をひく。
△ＡＰＯにおいて、
∠ＰＡＯ＝９０°
∠ＰＯＡ＝１３０÷２＝６５°なので、
∠ＡＰＯ＝１８０°－（９０°＋６５°）＝２５°
同様にして、
∠ＢＰＯ＝２５°
よって、
ｘ＝２５°＋２５°＝５０°
≪答≫ ５０°
[４]
ＯＰ，ＯＡ，ＯＢに線をひく。
△ＡＰＯにおいて、
∠ＰＡＯ＝９０°
∠ＡＰＯ＝７４÷２＝３７°なので、
∠ＡＯＰ＝１８０°－（９０°＋３７°）＝５３°
同様にして、
∠ＢＯＰ＝５３°
つまり、
∠ＡＯＢ＝５３°＋５３°＝１０６°
よって、円周角の定理より、
ｘ＝１０６°÷２＝５３°
≪答≫ ５３°
【練習問題３】 （ 参照 ： Lesson38 Lesson39 Lesson40 ）
以下の∠ｘの長さを求めなさい。
（※長さの単位はｃｍ）
[１]
△ＡＢＰと△ＤＣＰにおいて、
∠ＡＰＢ＝∠ＤＰＣ ・・・①
円周角の定理より、
∠ＢＡＰ＝∠ＣＤＰ ・・・②
①，②より、
△ＡＢＰ∽△ＤＣＰ
したがって、
３：ｘ＝４：６
ｘ＝４．５
≪答≫ ４．５ｃｍ
[２]
△ＡＤＰと△ＢＣＰにおいて、
∠ＡＰＤ＝∠ＢＰＣ ・・・①
円周角の定理より、
∠ＰＡＤ＝∠ＰＢＣ ・・・②
①，②より、
△ＡＤＰ∽△ＢＰＣ
したがって、
３：ｘ＝５：８
ｘ＝４．８
≪答≫ ４．８ｃｍ
[３] △ＡＯＰ＝７７ｃｍ2
△ＡＰＯと△ＢＰＯにおいて、
ＡＰ＝ＢＰ ・・・①
ＡＯ＝ＢＯ ・・・②
∠ＰＡＯ＝∠ＰＢＯ＝９０° ・・・③
①，②，③より、
△ＡＰＯ∽△ＢＰＯ
△ＡＯＰ＝７７ｃｍ2なので、
１４×ＡＯ÷２＝７７
ＡＯ＝１１
②より、
ＡＯ＝ＢＯ＝１１
≪答≫ １１ｃｍ
[４]
ＡＯ，ＢＯ，ＣＯに線をひく。
△ＯＡＢ＋△ＯＢＣ＋△ＯＣＡ＝△ＡＢＣである。
△ＡＢＣ＝４×３÷２＝６（ｃｍ2）
ｘｃｍは、円の半径であり、以下の３つの
三角形の高さでもあるので、
△ＯＡＢ＝５×ｘ÷２＝５２ｘ（ｃｍ2）
△ＯＢＣ＝４×ｘ÷２＝２ｘ（ｃｍ2）
△ＯＣＡ＝３×ｘ÷２＝３２ｘ（ｃｍ2）
よって、
５２ｘ＋２ｘ＋３２ｘ＝６
ｘ＝１
≪答≫ １ｃｍ
【練習問題４】 （ 参照 ： Lesson38 Lesson39 Lesson40 ）
右図のようなＢＣ＝１０ｃｍの△ＡＢＣがある。
点Ａは常に∠ＢＡＣ＝９０°となるように動く点である。
このとき、△ＡＢＣの面積が最も大きくなる時の面積を求めなさい。
辺ＢＣの中点をＯとする。
点Ａは点Ｏを中心とする円の円周上を動く点で、
図のように、∠ＡＯＢ＝９０°となるときが高さが最も高くなり、
△ＡＢＣの面積が最大である。
このとき、ＡＯ＝５ｃｍなので、
１０×５÷２＝２５（ｃｍ2）
≪答≫ ２５ｃｍ2
【練習問題５】 （ 参照 ： Lesson38 Lesson39 Lesson40 ）
右図の線分ＡＣ，ＢＤは、四角形ＡＢＣＤの対角線である。
このとき、以下の質問に答えなさい。
［１］ ４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは、同じ円周上にあるといえるかを、理由と合わせて答えなさい。
≪答≫
４点は同じ円周上にあるといえる。
＜理由＞
∠ＡＤＢと∠ＡＣＢが線分ＡＢにおいて同じ側にあって、∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢであるから。
［２］ ∠ＡＢＤの大きさを求めなさい。
円周角の定理より、
∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝４０°
≪答≫ ４０°
［３］ ∠ＢＡＤの大きさを求めなさい。
円に内接する四角形の向かい合う内角の
和は１８０°なので、
∠ＢＡＤ＝１８０°－（６０°＋４０°）＝８０°
≪答≫ ８０°
【練習問題６】 （ 参照 ： Lesson38 Lesson39 Lesson40 ）
右図の△ＡＢＣは、ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝５２°の二等辺三角形である。
また△ＡＰＱも、ＡＰ＝ＡＱ，∠ＰＡＱ＝５２°の二等辺三角形である。
このとき、４点Ａ，Ｐ，Ｃ，Ｑが同じ円周上にあることを証明しなさい。
≪答≫
点Ｃと点Ｑは、線分ＡＰにおいて同じ側にあり、
∠Ｃ＝∠Ｑ＝５２°である。
よって、４点Ａ，Ｐ，Ｃ，Ｑは同じ円周上にある。
【練習問題７】 （ 参照 ： Lesson38 Lesson39 Lesson40 ）
右図の△ＡＢＣは、円に内接している。
円の直径をＣＰ、ＡＢ⊥ＣＱとするとき、△ＡＰＣ∽△ＱＢＣであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＰＣと△ＱＢＣにおいて、
仮定より、
∠ＢＱＣ＝９０° ・・・①
直径ＰＣの円周角なので、
∠ＰＡＣ＝９０° ・・・②
①，②より、
∠ＰＡＣ＝∠ＢＱＣ ・・・③
⌒ＡＣの円周角なので、
∠ＡＰＣ＝∠ＱＢＣ ・・・④
③，④より、２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＰＣ∽△ＱＢＣ
【練習問題８】 （ 参照 ： Lesson38 Lesson39 Lesson40 ）
右図において、△ＡＢＣと△ＡＰＱは円に内接していて、ＢＣ∥ＰＱである。
ＡＰとＢＣの交点を点Ｒとするとき、△ＡＢＲ∽△ＡＱＣであることを証明しなさい。
≪答≫
ＢＱ，ＣＱに線をひく
△ＡＢＲと△ＡＱＣにおいて、
仮定ＢＣ∥ＰＱより、錯角は等しいので、
∠ＢＱＰ＝∠ＣＢＱ ・・・①
⌒ＢＰの円周角なので、
∠ＢＱＰ＝∠ＢＡＰ ・・・②
⌒ＣＱの円周角なので、
∠ＣＢＱ＝∠ＱＡＣ ・・・③
①，②，③より、
∠ＢＡＰ＝∠ＱＡＣ ・・・④
⌒ＡＣの円周角なので、
∠ＡＢＣ＝∠ＡＱＣ ・・・⑤
④，⑤より、２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＲ∽△ＡＱＣ
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