勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

~ 中学3年 数学 ~

『 第3章 二次方程式 』 の復習テスト

第3章 二次方程式

<前:『第3章 二次方程式』の復習テスト の問題   L23- x の2乗に比例する関数の基本 の問題:次>


【練習問題1】  ( 参照 : Lesson18 Lesson19 Lesson20
以下の二次方程式を解きなさい。

[1] (-3)2-36=0
    (-3)2=36
    -3=±6
    =3±6
    よって、
    =9, =-3

[2] 2-12+36=0

    ≪因数分解する≫
     (-6)2=0

     -6=0
     よって、
     =6

[3] 2+3-1=0

    =1,=3,=-1
    -3±平方根2-4×1×(-1)2×1
    -3±平方根13

[4] 21625=0
    21625
    =±
    =-±
    =-10±10
    よって、
    10, =-1310

[5] 2+5-6=0

    ≪因数分解する≫
     (+6)(-1)=0

     +6=0, -1=0
     よって、
     =-6, =1

[6] 2-4-8=0

    =1,=-4,=-8
    4±平方根(-4)2-4×1×(-8)2×1
    4±平方根48
    4±4平方根
    =2±2平方根

【練習問題2】  ( 参照 : Lesson18 Lesson19 Lesson20
以下の二次方程式を解きなさい。

[1] 42=100
    2=25
    =±5

[2] 32-7+4=0

    =3,=-7,=4
    7±平方根(-7)2-4×3×42×3
    7±平方根
    7±1
    よって、
    , 
    約分して、
    , =1

[3] 22+4=48
    22+4-48=0
    2+2-24=0

    ≪因数分解する≫
     (+6)(-4)=0

     +6=0, -4=0
     よって、
     =-6, =4

[4] 52-2-3=0

    =5,=-2,=-3
    2±平方根(-2)2-4×5×(-3)2×5
    2±平方根6410
    2±810
    よって、
    1010, -610
    約分して、
    =1, =-

[5] 52-3=0
    52=3
    2
    =±平方根平方根
    有理化して、
    =±平方根15

[6] (-3)2=3(-3)

    ≪-3をとする≫
     2=3
     2-3=0
     -3)=0

    ≪-3に戻す≫
     (-3)(-3-3)=0
     (-3)(-6)=0

     -3=0, -6=0
     よって、
     =3, =6

【練習問題3】  ( 参照 : Lesson18 Lesson19 Lesson20
二次方程式2=0について、以下の質問に答えなさい。

[1] 解が=5,=-2 のとき、の値を求めなさい。

    ≪に5と-2を代入する≫
     52×5+=0
     (-2)2×(-2)+=0

    ≪式を整理し、(ア)と(イ)の連立方程式を解く≫
     5=-25  ・・・(ア)
     -2=-4  ・・・(イ)

    ≪答≫ =-3, =-10

[2] =-8で、解が1つしかないとき、の値を求めなさい。

    ※解が1つということは、(-☆)2=0の形だとわかる

    ≪=-8を代入する≫
     2-8=0
     には、-8を2で割った数の2乗が入るので、
     (-8÷2)2=16

    ※2-8+16=0
     因数分解すると、
     (-4)2=0

    ≪答≫ =16

[3] =4で、解が整数のとき、の値をすべて求めなさい。

    ※2+4=0の解が整数になる二次方程式は、
    (+1)(+4)=0  ・・・(ア)
    (-1)(-4)=0  ・・・(イ)
    (+2)2=0  ・・・(ウ)
    (-2)2=0  ・・・(エ)

    ≪(ア)~(エ)の式を展開する≫
    2+5+4=0  ・・・(ア)
    2-5+4=0  ・・・(イ)
    2+4+4=0  ・・・(ウ)
    2-4+4=0  ・・・(エ)

    ≪答≫ =5,=-5,=4,=-4

【練習問題4】  ( 参照 : Lesson18 Lesson19 Lesson20
二次方程式2-7+10 の小さい方の解が、2-12 の解の1つであるとき、以下の質問に答えなさい。

[1] の値を求めなさい。

    ≪2-7+10 を因数分解する≫
     (-2)(-5)=0

     -2=0, -5=0
     よって、
     =2, =5
     
     小さい方の解は、=2

    ≪=2 を2-12に代入する≫
     22×2-12=0
     4+2-12=0
     2=8
     =4

    ≪答≫ =4

[2] 2-12 のもう1つの解を求めなさい。

    ≪2+4-12=0を因数分解する≫
     (+6)(-2)=0

     +6=0, -2=0
     よって、
     =-6, =2

    ≪答≫ もう1つの解:-6

【練習問題5】  ( 参照 : Lesson21
1とばしの連続する3つの自然数がある。
いちばん大きい数の2乗は、他の2つの数をそれぞれ2乗した数の和より12大きい。
3つの自然数を求めなさい。

    ≪真ん中の数をとする≫
      小さい数   ⇒ -2
      真ん中の数 ⇒ 
      大きい数   ⇒ +2

    ≪式をつくる≫
     (+2)2={2+(-2)2}+12

    ≪展開・計算する≫
     (+2)2={2+(-2)2}+12
     2+4+4={22-4+4}+12
     2+4+4=22-4+16
     2-8+12=0

    ≪因数分解する≫
     2-8+12=0
     (-2)(-6)=0

     -2=0, -6=0
     よって、
     =2, =6

     2と6が真ん中の数なので、考えられる3つの数は、
     0,2,4 と 4,6,8  ※0,2,4は問題(自然数)に合わない。

    ≪答≫ 4,6,8

【練習問題6】  ( 参照 : Lesson22
長さ30cmの針金を折り曲げて、横が縦より長い長方形を作りたい。
その長方形の面積を54cm2にしたとき、長方形の横の長さを求めなさい。

    ≪縦の長さをcmとする≫
      縦1辺+横1辺の長さ ⇒ 30÷2=15
      長方形の縦 ⇒ cm
      長方形の横 ⇒ (15-)cm

    ≪式をつくる≫
     (15-)=54

    ≪計算する≫
     (15-)=54
     152=54
     2-15+54=0

    ≪因数分解する≫
     2-15+54=0
     (-6)(-9)=0

     -6=0, -9=0
     よって、
     =6, =9
      ※6<9なので、6は問題に適していない

    ≪答≫ 横:9cm

【練習問題7】  ( 参照 : Lesson22
高さが4cm、表面積が42πcm2の円柱の底面の半径を求めなさい。
(円周率はπとする)

    ≪底面の半径をcmとする≫
      片方の円の面積 ⇒ π2
      両方の円の面積 ⇒ π2×2=2π2
      側面の面積 ⇒ 2π×4=8πcm

    ≪式をつくる≫
     2π2+8π=42π
     2π2+8π-42π=0

    ≪両辺を2πで割る≫
     2+4-21=0

    ≪因数分解する≫
     2+4-21=0
     (+7)(-3)=0

     +7=0, -3=0
     よって、
     =-7, =3
      ※-7は問題に合わない

    ≪答≫ 半径:3cm

二次関数面積用図

【練習問題8】  ( 参照 : Lesson22
右図のような横が縦より9cm長い長方形の厚紙がある。
この厚紙の4すみから1辺2cmの正方形を切り取って直方体の箱を作ると、体積が440cm3になった。
厚紙の縦と横のもともとの長さを求めなさい。

    ≪厚紙の縦の長さをcmとする≫
      縦の長さ ⇒ cm
      横の長さ ⇒ (+9)cm

    ≪正方形を切り取った後の縦・横・高さ≫
      縦の長さ ⇒ -(2×2)=(-4)cm
      横の長さ ⇒ (+9-(2×2))=(+5)cm
      高さ   ⇒ 2cm

    ≪式をつくる≫
      2(-4)(+5)=440

    ≪展開・計算する≫
      2(-4)(+5)=440
      (-4)(+5)=220
      2-20=220
      2-240=0

    ≪因数分解する≫
      2-240=0
     (+16)(-15)=0

     +16=0, -15=0
     よって、
     =-16, =15
      縦は15cm  ※-16は問題に合わない

    ≪横の長さを求める≫
      15+9=24

    ≪答≫ 厚紙の縦:15cm, 横:24cm

二次関数面積用図

【練習問題9】  ( 参照 : Lesson22
右図のように、ある土地に道幅2mの道を縦3本、横2本作り、その道の間に芝生を植えたところ、芝生と道の部分の面積が同じになった。
芝生の部分の横の合計の長さは、芝生の部分の縦の合計の長さより4m長い。
この土地の縦と横の長さを求めなさい。

    ≪芝生の部分の縦の長さをmとする≫
     芝生の縦の長さ ⇒ 
     芝生の横の長さ ⇒ (+4)m
     芝生の面積の式 ⇒ +4)m2

    ≪道の部分の面積の式≫
     濃いグレーの部分
      (2×3)×{+(2×2)}
      =6(+4)

     薄いグレーの部分
      (+4)×(2×2)
      =4(+4)

     道の部分の合計
      6(+4)+4(+4)
     =6+24+4+16
     =10+40

    ≪式をつくる≫
      +4)=10+40

    ≪展開・計算する≫
      +4)=10+40
      2+4=10+40
      2-6-40=0

    ≪因数分解する≫
      2-6-40=0
     (+4)(-10)=0

     +4=0, -10=0
     よって、
     =-4, =10
      芝生の縦は10m  ※-4は問題に合わない

    ≪芝生の横の長さを求める≫
      10+4=14
      芝生の縦:10m, 横:14m

    ≪土地の長さを求める≫
      土地の縦:10+(2×2)=14
      土地の横:14+(2×3)=20

    ≪答≫ 土地の縦:14m, 横:20m

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