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勉強すれば、後悔なんてしない。
~ 中学3年 数学 ~
『 第3章 二次方程式 』 の復習テスト
第3章 二次方程式
<前:『第3章 二次方程式』の復習テスト の問題 L23- x の2乗に比例する関数の基本 の問題:次>
【練習問題1】 ( 参照 : Lesson18 Lesson19 Lesson20 )
以下の二次方程式を解きなさい。
[1] (x-3)2-36=0
(x-3)2=36
x-3=±6
x=3±6
よって、
x=9, x=-3
[2] x2-12x+36=0
≪因数分解する≫
(x-6)2=0
x-6=0
よって、
x=6
[3] x2+3x-1=0
a=1,b=3,c=-1
x=-3±32-4×1×(-1)2×1
x=-3±132
[4] (x+12)2-1625=0
(x+12)2=1625
x+12=±45
x=-12±45
x=-510±810
よって、
x=310, x=-1310
[5] x2+5x-6=0
≪因数分解する≫
(x+6)(x-1)=0
x+6=0, x-1=0
よって、
x=-6, x=1
[6] x2-4x-8=0
a=1,b=-4,c=-8
x=4±(-4)2-4×1×(-8)2×1
x=4±482
x=4±432
x=2±23
【練習問題2】 ( 参照 : Lesson18 Lesson19 Lesson20 )
以下の二次方程式を解きなさい。
[1] 4x2=100
x2=25
x=±5
[2] 3x2-7x+4=0
a=3,b=-7,c=4
x=7±(-7)2-4×3×42×3
x=7±16
x=7±16
よって、
x=86, x=66
約分して、
x=43, x=1
[3] 2x2+4x=48
2x2+4x-48=0
x2+2x-24=0
≪因数分解する≫
(x+6)(x-4)=0
x+6=0, x-4=0
よって、
x=-6, x=4
[4] 5x2-2x-3=0
a=5,b=-2,c=-3
x=2±(-2)2-4×5×(-3)2×5
x=2±6410
x=2±810
よって、
x=1010, x=-610
約分して、
x=1, x=-35
[5] 5x2-3=0
5x2=3
x2=35
x=±35
有理化して、
x=±155
[6] (x-3)2=3(x-3)
≪x-3をMとする≫
M2=3M
M2-3M=0
M(M-3)=0
≪Mをx-3に戻す≫
(x-3)(x-3-3)=0
(x-3)(x-6)=0
x-3=0, x-6=0
よって、
x=3, x=6
【練習問題3】 ( 参照 : Lesson18 Lesson19 Lesson20 )
二次方程式x2+bx+c=0について、以下の質問に答えなさい。
[1] 解がx=5,x=-2 のとき、b,cの値を求めなさい。
≪xに5と-2を代入する≫
52+b×5+c=0
(-2)2+b×(-2)+c=0
≪式を整理し、(ア)と(イ)の連立方程式を解く≫
5b+c=-25 ・・・(ア)
-2b+c=-4 ・・・(イ)
≪答≫ b=-3, c=-10
[2] b=-8で、解が1つしかないとき、cの値を求めなさい。
※解が1つということは、(x-☆)2=0の形だとわかる
≪b=-8を代入する≫
x2-8x+c=0
cには、-8を2で割った数の2乗が入るので、
(-8÷2)2=16
※x2-8x+16=0
因数分解すると、
(x-4)2=0
≪答≫ c=16
[3] c=4で、解が整数のとき、bの値をすべて求めなさい。
※x2+bx+4=0の解が整数になる二次方程式は、
(x+1)(x+4)=0 ・・・(ア)
(x-1)(x-4)=0 ・・・(イ)
(x+2)2=0 ・・・(ウ)
(x-2)2=0 ・・・(エ)
≪(ア)~(エ)の式を展開する≫
x2+5x+4=0 ・・・(ア)
x2-5x+4=0 ・・・(イ)
x2+4x+4=0 ・・・(ウ)
x2-4x+4=0 ・・・(エ)
≪答≫ b=5,b=-5,b=4,b=-4
【練習問題4】 ( 参照 : Lesson18 Lesson19 Lesson20 )
二次方程式x2-7x+10 の小さい方の解が、x2+ax-12 の解の1つであるとき、以下の質問に答えなさい。
[1] aの値を求めなさい。
≪x2-7x+10 を因数分解する≫
(x-2)(x-5)=0
x-2=0, x-5=0
よって、
x=2, x=5
小さい方の解は、x=2
≪x=2 をx2+ax-12に代入する≫
22+a×2-12=0
4+2a-12=0
2a=8
a=4
≪答≫ a=4
[2] x2+ax-12 のもう1つの解を求めなさい。
≪x2+4x-12=0を因数分解する≫
(x+6)(x-2)=0
x+6=0, x-2=0
よって、
x=-6, x=2
≪答≫ もう1つの解:-6
【練習問題5】 ( 参照 : Lesson21 )
1とばしの連続する3つの自然数がある。
いちばん大きい数の2乗は、他の2つの数をそれぞれ2乗した数の和より12大きい。
3つの自然数を求めなさい。
≪真ん中の数をxとする≫
小さい数 ⇒ x-2
真ん中の数 ⇒ x
大きい数 ⇒ x+2
≪式をつくる≫
(x+2)2={x2+(x-2)2}+12
≪展開・計算する≫
(x+2)2={x2+(x-2)2}+12
x2+4x+4={x2+x2-4x+4}+12
x2+4x+4=2x2-4x+16
x2-8x+12=0
≪因数分解する≫
x2-8x+12=0
(x-2)(x-6)=0
x-2=0, x-6=0
よって、
x=2, x=6
2と6が真ん中の数なので、考えられる3つの数は、
0,2,4 と 4,6,8 ※0,2,4は問題(自然数)に合わない。
≪答≫ 4,6,8
【練習問題6】 ( 参照 : Lesson22 )
長さ30cmの針金を折り曲げて、横が縦より長い長方形を作りたい。
その長方形の面積を54cm2にしたとき、長方形の横の長さを求めなさい。
≪縦の長さをxcmとする≫
縦1辺+横1辺の長さ ⇒ 30÷2=15
長方形の縦 ⇒ xcm
長方形の横 ⇒ (15-x)cm
≪式をつくる≫
x(15-x)=54
≪計算する≫
x(15-x)=54
15x-x2=54
x2-15x+54=0
≪因数分解する≫
x2-15x+54=0
(x-6)(x-9)=0
x-6=0, x-9=0
よって、
x=6, x=9
※6<9なので、6は問題に適していない
≪答≫ 横:9cm
【練習問題7】 ( 参照 : Lesson22 )
高さが4cm、表面積が42πcm2の円柱の底面の半径を求めなさい。
(円周率はπとする)
≪底面の半径をxcmとする≫
片方の円の面積 ⇒ πx2
両方の円の面積 ⇒ πx2×2=2πx2
側面の面積 ⇒ 2πx×4=8πxcm
≪式をつくる≫
2πx2+8πx=42π
2πx2+8πx-42π=0
≪両辺を2πで割る≫
x2+4x-21=0
≪因数分解する≫
x2+4x-21=0
(x+7)(x-3)=0
x+7=0, x-3=0
よって、
x=-7, x=3
※-7は問題に合わない
≪答≫ 半径:3cm
【練習問題8】 ( 参照 : Lesson22 )
右図のような横が縦より9cm長い長方形の厚紙がある。
この厚紙の4すみから1辺2cmの正方形を切り取って直方体の箱を作ると、体積が440cm3になった。
厚紙の縦と横のもともとの長さを求めなさい。
≪厚紙の縦の長さをxcmとする≫
縦の長さ ⇒ xcm
横の長さ ⇒ (x+9)cm
≪正方形を切り取った後の縦・横・高さ≫
縦の長さ ⇒ x-(2×2)=(x-4)cm
横の長さ ⇒ (x+9-(2×2))=(x+5)cm
高さ ⇒ 2cm
≪式をつくる≫
2(x-4)(x+5)=440
≪展開・計算する≫
2(x-4)(x+5)=440
(x-4)(x+5)=220
x2+x-20=220
x2+x-240=0
≪因数分解する≫
x2+x-240=0
(x+16)(x-15)=0
x+16=0, x-15=0
よって、
x=-16, x=15
縦は15cm ※-16は問題に合わない
≪横の長さを求める≫
15+9=24
≪答≫ 厚紙の縦:15cm, 横:24cm
【練習問題9】 ( 参照 : Lesson22 )
右図のように、ある土地に道幅2mの道を縦3本、横2本作り、その道の間に芝生を植えたところ、芝生と道の部分の面積が同じになった。
芝生の部分の横の合計の長さは、芝生の部分の縦の合計の長さより4m長い。
この土地の縦と横の長さを求めなさい。
≪芝生の部分の縦の長さをxmとする≫
芝生の縦の長さ ⇒ xm
芝生の横の長さ ⇒ (x+4)m
芝生の面積の式 ⇒ x(x+4)m2
≪道の部分の面積の式≫
濃いグレーの部分
(2×3)×{x+(2×2)}
=6(x+4)
薄いグレーの部分
(x+4)×(2×2)
=4(x+4)
道の部分の合計
6(x+4)+4(x+4)
=6x+24+4x+16
=10x+40
≪式をつくる≫
x(x+4)=10x+40
≪展開・計算する≫
x(x+4)=10x+40
x2+4x=10x+40
x2-6x-40=0
≪因数分解する≫
x2-6x-40=0
(x+4)(x-10)=0
x+4=0, x-10=0
よって、
x=-4, x=10
芝生の縦は10m ※-4は問題に合わない
≪芝生の横の長さを求める≫
10+4=14
芝生の縦:10m, 横:14m
≪土地の長さを求める≫
土地の縦:10+(2×2)=14
土地の横:14+(2×3)=20
≪答≫ 土地の縦:14m, 横:20m
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