中学生 勉強なんて 怖くない
～ 勉強が苦手な中学生のために ～
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勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。
～ 中学２年 数学 ～
Lesson 32 合同条件と証明の進め方（２）
第４章 図形の調べ方
＜前：Ｌ３２- 合同条件と証明の進め方（２） の問題 Ｌ３３- 合同条件と証明の進め方（３） の問題：次＞
【練習問題１】
右図で、ＰＡ＝ＰＢ、点ＭはＡＢの中点である。
このとき、∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ＝９０°であることを証明しなさい。
≪答≫
△ＰＭＡと△ＰＭＢにおいて、
仮定より、
ＰＡ＝ＰＢ ・・・(1)
点ＭはＡＢの中点なので、
ＡＭ＝ＢＭ ・・・(2)
ＰＭは共通なので、
ＰＭ＝ＰＭ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、３組の辺がそれぞれ等しいので、
△ＰＭＡ≡△ＰＭＢ
合同な図形では対応する角は等しいので、
∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ
∠ＰＭＡ＋∠ＰＭＢ＝１８０°なので、
∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ＝９０°
【練習問題２】
線分ＡＢの垂直二等分線ｍ上に点Ｐをとり、Ａ，Ｂと結ぶ。
このとき、ＰＡ＝ＰＢであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＰＭＡと△ＰＭＢにおいて、
直線ｍは線分ＡＢの垂直二等分線なので、
ＡＭ＝ＢＭ ・・・(1)
∠ＰＭＡ＝∠ＰＭＢ＝９０° ・・・(2)
ＰＭは共通なので、
ＰＭ＝ＰＭ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＰＭＡ≡△ＰＭＢ
合同な図形では対応する辺は等しいので、
ＰＡ＝ＰＢ
【練習問題３】
ＡＢ∥Ｃ Ｄの折れ線ＡＢＣ Ｄで、線分ＢＣ の中点Ｏを通る直線ｍが、ＡＢ，Ｃ Ｄとそれぞれ点Ｐ，Ｑで交わっている。
このとき、ＢＰ＝Ｃ Ｑであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＢＰＯと△Ｃ ＱＯにおいて、
点ＯはＢＣ の中点なので、
ＢＯ＝Ｃ Ｏ ・・・(1)
対頂角は等しいので、
∠ＢＯＰ＝∠Ｃ ＯＱ ・・・(2)
ＡＢ∥Ｃ Ｄで錯角は等しいので、
∠ＰＢＯ＝∠ＱＣ Ｏ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△ＢＰＯ≡△Ｃ ＱＯ
合同な図形では対応する辺は等しいので、
ＢＰ＝Ｃ Ｑ
【練習問題４】
右図で△ＡＢＣと△Ｃ ＤＥは正三角形である。
このとき、△ＡＣ Ｄ≡△ＢＣ Ｅであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＣ Ｄと△ＢＣ Ｅにおいて、
△ＡＢＣと△Ｃ ＤＥは正三角形だから、
ＡＣ＝ＢＣ ・・・(1)
Ｃ Ｄ＝Ｃ Ｅ ・・・(2)
∠ＡＣ Ｄ＝∠ＡＣ Ｂ＋∠ＢＣ Ｄ
∠ＢＣ Ｅ＝∠ＤＣ Ｅ＋∠ＢＣ Ｄ
ここで、∠ＡＣ Ｂ＝∠ＤＣ Ｅ＝６０°
∠ＢＣ Ｄは共通なので、
∠ＡＣ Ｄ＝∠ＢＣ Ｅ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＣ Ｄ≡△ＢＣ Ｅ
【練習問題５】
△ＡＢＣと△ＥＣ Ｄは正三角形である。
このとき、ＥＢ＝ＤＡであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＥＢＣと△ＤＡＣにおいて、
△ＡＢＣと△ＥＣ Ｄは正三角形だから、
ＥＣ＝ＤＣ ・・・(1)
ＢＣ＝ＡＣ ・・・(2)
∠ＥＣ Ｂ＝∠ＡＣ Ｂ＋∠ＥＣ Ａ
∠ＤＣＡ＝∠ＤＣ Ｅ＋∠ＥＣ Ａ
ここで、∠ＡＣ Ｂ＝∠ＤＣ Ｅ＝６０°
∠ＥＣ Ａは共通なので、
∠ＥＣ Ｂ＝∠ＤＣＡ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＥＢＣ≡△ＤＡＣ
よって、
ＥＢ＝ＤＡ
【練習問題６】
右図で、四角形ＡＢＣ Ｄと四角形ＤＥＦＧは正方形である。
このとき、ＡＥ＝Ｃ Ｇであることを証明しなさい。
≪答≫
△ＡＤＥと△Ｃ ＤＧにおいて、
四角形ＡＢＣ Ｄと四角形ＤＥＦＧは正方形だから、
ＡＤ＝Ｃ Ｄ ・・・(1)
ＤＥ＝ＤＧ ・・・(2)
∠ＡＤＥ＝∠ＡＤＣ＋∠Ｃ ＤＥ
∠Ｃ ＤＧ＝∠ＥＤＧ＋∠Ｃ ＤＥ
ここで、∠ＡＤＣ＝∠ＥＤＧ＝９０°
∠Ｃ ＤＥは共通なので、
∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＧ ・・・(3)
(1)，(2)，(3)より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＤＥ≡△Ｃ ＤＧ
よって、
ＡＥ＝Ｃ Ｇ
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