中学生 勉強なんて 怖くない
～ 勉強が苦手な中学生のために ～
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勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。
～ 中学３年 数学 ～
Lesson 22 二次方程式の利用（２）
第３章 二次方程式
＜前：Ｌ２２- 二次方程式の利用（２） の問題 『第３章 二次方程式』の復習テスト の問題：次＞
【練習問題１】
正方形Ａの１辺を２ｃｍずつ長くした正方形Ｂの面積は１２１ｃｍ2になる。
正方形Ａの面積を求めなさい。
≪正方形Ａの１辺の長さをｘｃｍとする≫
正方形Ｂの１辺 ⇒ （ｘ＋２）ｃｍ
≪正方形Ｂの面積の式をつくる≫
（ｘ＋２）2＝１２１
≪平方根の考えを使う≫
ｘ＋２＝±１１
よって、
ｘ＝９， ｘ＝－１３
※－１３は問題に合わないので、９だけで考える
≪正方形Ａの面積を求める≫
正方形Ａの１辺は９ｃｍ
９×９＝８１
≪答≫ ８１ｃｍ2
【練習問題２】
ある正方形の縦を２ｃｍ短く、横を３ｃｍ長くして長方形を作ったところ、その長方形の面積は６６ｃｍ2になった。
もとの正方形の面積を求めなさい。
≪正方形の１辺の長さをｘｃｍとする≫
長方形の縦 ⇒ （ｘ－２）ｃｍ
長方形の横 ⇒ （ｘ＋３）ｃｍ
≪長方形の面積の式をつくる≫
（ｘ－２）（ｘ＋３）＝６６
≪展開し移行する≫
（ｘ－２）（ｘ＋３）＝６６
ｘ2＋ｘ－６＝６６
ｘ2＋ｘ－７２＝０
≪因数分解する≫
（ｘ＋９）（ｘ－８）＝０
ｘ＋９＝０、またはｘ－８＝０
よって、
ｘ＝－９， ｘ＝８
※－９は問題に合わないので、８だけで考える
≪正方形の面積を求める≫
正方形の１辺は８ｃｍ
８×８＝６４
≪答≫ ６４ｃｍ2
【練習問題３】
周の長さが２４ｃｍで、面積が３５ｃｍ2の長方形がある。
この長方形の長い方の辺の長さを求めなさい。
≪短い方の辺の長さをｘｃｍとする≫
縦１辺＋横１辺の長さ ⇒ ２４÷２＝１２
長方形の短い辺 ⇒ ｘｃｍ
長方形の長い辺 ⇒ （１２－ｘ）ｃｍ
≪長方形の面積の式をつくる≫
ｘ（１２－ｘ）＝３５
≪展開し移行する≫
ｘ（１２－ｘ）＝３５
－ｘ2＋１２ｘ－３５＝０
≪両辺に－１をかける≫
ｘ2－１２ｘ＋３５＝０
≪因数分解する≫
（ｘ－５）（ｘ－７）＝０
ｘ－５＝０、またはｘ－７＝０
よって、
ｘ＝５， ｘ＝７
※５＜７なので、５は問題に適していない
≪答≫ ７ｃｍ
【練習問題４】
高さが底辺より５ｃｍ短く、面積が１８ｃｍ2の三角形がある。
この三角形の底辺と高さを求めなさい。
≪底辺をｘｃｍとする≫
底辺 ⇒ ｘｃｍ
高さ ⇒ （ｘ－５）ｃｍ
≪三角形の面積の式をつくる≫
｛ｘ（ｘ－５）｝÷２＝１８
≪両辺に２をかけ、展開し移行する≫
ｘ（ｘ－５）÷２＝１８
ｘ（ｘ－５）＝３６
ｘ2－５ｘ－３６＝０
≪因数分解する≫
（ｘ＋４）（ｘ－９）＝０
ｘ＋４＝０、またはｘ－９＝０
よって、
ｘ＝－４， ｘ＝９
※－４は問題に合わないので、９だけで考える
≪ｘ＝９を、高さの式に代入する≫
９－５＝４
≪答≫ 底辺：９ｃｍ， 高さ：４ｃｍ
【練習問題５】
右図のような縦１０ｍ、横１５ｍの庭がある。
この庭に縦横同じ幅の道を作り、残りの部分に芝生を植えたい。
芝生の面積を１０４ｍ2にするとき、道幅を何ｍにすればよいか求めなさい。
≪道の幅をｘｍとする≫
芝生の縦の長さ ⇒ （１０－ｘ）ｍ
芝生の横の長さ ⇒ （１５－ｘ）ｍ
≪芝生の面積の式をつくる≫
（１０－ｘ）（１５－ｘ）＝１０４
≪展開し移行する≫
（１０－ｘ）（１５－ｘ）＝１０４
１５０－１０ｘ－１５ｘ＋ｘ2＝１０４
ｘ2－２５ｘ＋４６＝０
≪因数分解する≫
（ｘ－２）（ｘ－２３）＝０
ｘ－２＝０、またはｘ－２３＝０
よって、
ｘ＝２， ｘ＝２３
※２３は問題に合わない
≪答≫ 道幅：２ｍ
【練習問題６】
右図のような縦８ｃｍ、横１２ｃｍの長方形がある。
点Ｐは、点Ａを出発し辺ＡＢ上をＢまで、点ＱはＣを出発し辺ＢＣ上をＢまで同時にスタートし、共に秒速１ｃｍで動く点である。
以下の質問に答えなさい。
［１］ 点Ｐと点Ｑがスタートして、５秒後の△ＰＢＱの面積を求めなさい。
≪５秒後のＰＢ，ＱＢの長さを求める≫
５秒後＝５ｃｍ進んだので、
ＰＢ ⇒ ＡＢ－ＡＰ＝８－５＝３
ＱＢ ⇒ Ｃ Ｂ－ＣＱ＝１２－５＝７
≪△ＰＢＱの面積を求める≫
７×３÷２＝１０．５
≪答≫ １０．５ｃｍ2
［２］ 点Ｐと点Ｑがスタートし、△ＰＢＱの面積が１６ｃｍ2になるのは何秒後
か求めなさい。
≪点Ｐ，点Ｑの進んだ長さをｘｃｍとする≫
ＰＢ ⇒ （８－ｘ）ｃｍ
ＱＢ ⇒ （１２－ｘ）ｃｍ
≪△ＰＢＱの面積の式をつくる≫
｛（８－ｘ）（１２－ｘ）｝÷２＝１６
≪両辺に２をかけ、展開し移行する≫
｛（８－ｘ）（１２－ｘ）｝÷２＝１６
｛（８－ｘ）（１２－ｘ）｝＝３２
９６－８ｘ－１２ｘ＋ｘ2＝３２
ｘ2－２０ｘ＋６４＝０
≪因数分解する≫
（ｘ－４）（ｘ－１６）＝０
ｘ－４＝０、またはｘ－１６＝０
よって、
ｘ＝４， ｘ＝１６
※１６は問題に合わないので、４だけで考える
１ｃｍ＝１秒の速さなので、
４ｃｍ＝４秒
≪答≫ ４秒後
【練習問題７】
右図のような直角二等辺三角形がある。
点Ｐは辺ＡＢ上をＡからＢまで、点Ｑは辺ＢＣ上をＢからＣまで動く。
また、点Ｐと点Ｑはスタートも速度も同じである
以下の質問に答えなさい。
［１］ 点Ｐと点Ｑがスタートして、３ｃｍ動いたときの長方形ＰＢＱＤの面積を
求めなさい。
≪ＰＢ，ＱＢの長さを求める≫
ＰＢ ⇒ ＡＢ－ＡＰ＝１０－３＝７
ＢＱ ⇒ ３ｃｍ
≪長方形ＰＢＱＤの面積を求める≫
７×３＝２１
≪答≫ ２１ｃｍ2
［２］ 長方形ＰＢＱＤの面積が２４ｃｍ2になるのは、点ＰがＡから何ｃｍ動いた
ときか求めなさい。
≪点Ｐ，点Ｑの進んだ長さをｘｃｍとする≫
ＰＢ ⇒ （１０－ｘ）ｃｍ
ＢＱ ⇒ ｘｃｍ
≪長方形ＰＢＱＤの面積の式をつくる≫
ｘ（１０－ｘ）＝２４
≪展開し移行する≫
ｘ（１０－ｘ）＝２４
１０ｘ－ｘ2＝２４
－ｘ2＋１０ｘ－２４＝０
≪両辺に－１をかける≫
ｘ2－１０ｘ＋２４＝０
≪因数分解する≫
（ｘ－４）（ｘ－６）＝０
ｘ－４＝０、またはｘ－６＝０
よって、
ｘ＝４， ｘ＝６
※２数とも問題に合う
≪答≫ ４ｃｍと６ｃｍ
【練習問題８】
ボールを秒速３０ｍで地面から真上に投げ上げると、ｔ秒後の地面からの高さは（３０ｔ－５ｔ2）ｍになる。
以下の質問に答えなさい。
［１］ 地面からのボールの高さが４０ｍになるのは何秒後か求めなさい。
≪式をつくる≫
３０ｔ－５ｔ2＝４０
≪移行する≫
－５ｔ2＋３０ｔ－４０＝０
≪両辺を－５で割る≫
ｔ2－６ｔ＋８＝０
≪因数分解する≫
（ｔ－２）（ｔ－４）＝０
ｔ－２＝０、またはｔ－４＝０
よって、
ｔ＝２， ｔ＝４
※２数とも問題に合う
≪答≫ ２秒後と４秒後
［２］ ボールが地面に落ちるのは、投げ上げてから何秒後か求めなさい。
≪式をつくる≫
３０ｔ－５ｔ2＝０
≪両辺を－５で割る≫
ｔ2－６ｔ＝０
≪ｔでくくる≫
ｔ（ｔ－６）＝０
ｔ＝０、またはｔ－６＝０
よって、
ｔ＝０， ｔ＝６
※０は投げ上げた時なので、問題に合わない
≪答≫ ６秒後
＜前：Ｌ２２- 二次方程式の利用（２） の問題 『第３章 二次方程式』の復習テスト の問題：次＞
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