中学生 勉強なんて 怖くない
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勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。
~ 中学3年 数学 ~
Lesson 21 二次方程式の利用(1)
第3章 二次方程式
<前:L21- 二次方程式の利用(1) の問題 L22- 二次方程式の利用(2) の問題:次>
【練習問題1】
2つの正の整数があり、その差は3で積は40である。
2つの数を求めなさい。
≪大きい方の数をx,小さい方の数をyとする≫
2数の差 ⇒ x-y=3
2数の積 ⇒ xy=40
≪差の式を移項し、積の式に代入して展開する≫
x-y=3
x=y+3
(y+3)×y=40
y2+3y-40=0
≪因数分解する≫
(y+8)(y-5)=0
y+8=0、またはy-5=0
よって、
y=-8, y=5
※-8は問題(正の整数)に合わないので、5だけで考える
≪y=5を、差か積の式に代入し、大きい方の数を求める≫
x-5=3
x=8 ※問題に合う
≪答≫ 8,5
【練習問題2】
ある自然数から3を引いた数に、もとの自然数をかけると54になる。
この自然数を求めなさい。
≪自然数をmとする≫
(m-3)×m=54
≪展開・移項する≫
m2-3m-54=0
≪因数分解する≫
(m+6)(m-9)=0
m+6=0、またはm-9=0
よって、
m=-6, m=9
※-6は問題(自然数)に合わない。
≪答≫ 9
【練習問題3】
ある自然数を2乗して8を引こうとして、誤って2倍して8を引いてしまったところ正解よりも35小さくなった。
ある自然数を求めなさい。
≪ある自然数をxとして式をつくる≫
x2-8=2x-8+35
≪移項する≫
x2-8=2x-8+35
x2-8=2x+27
x2-2x-35=0
≪因数分解する≫
(x+5)(x-7)=0
x+5=0、またはx-7=0
よって、
x=-5, x=7
※-5は問題(自然数)に合わない。
≪答≫ 7
【練習問題4】
十の位の数が一の位の数より4小さい2ケタの自然数がある。
この自然数の十の位と一の位の積は、その自然数より16小さい。
この自然数を求めなさい。
≪一の位の数をxとする≫
一の位 ⇒ x
十の位 ⇒ x-4
自然数 ⇒ 10(x-4)+x
≪式をつくる≫
x(x-4)={10(x-4)+x}-16
≪展開・移項する≫
x(x-4)={10(x-4)+x}-16
x2-4x={10x-40+x}-16
x2-4x=11x-56
x2-15x+56=0
≪因数分解する≫
(x-7)(x-8)=0
x-7=0、またはx-8=0
よって、
x=7, x=8
≪x=7,x=8を、十の位の式に代入する≫
7-4=3, 8-4=4
よって、
37 と 48
※2数とも問題に合う
≪答≫ 37,48
【練習問題5】
十の位の数が一の位の数より2大きい2ケタの自然数がある。
この自然数の十の位と一の位の積は、十の位と一の位の数の和に4をかけた数より1小さい。
この自然数を求めなさい。
≪一の位の数をxとする≫
一の位 ⇒ x
十の位 ⇒ x+2
自然数 ⇒ 10(x+2)+x
≪式をつくる≫
x(x+2)=4{(x+2)+x}-1
≪展開・移項する≫
x(x+2)=4{(x+2)+x}-1
x2+2x=4{2x+2}-1
x2+2x=8x+7
x2-6x-7=0
≪因数分解する≫
(x+1)(x-7)=0
x+1=0、またはx-7=0
よって、
x=-1, x=7
※-1は問題に合わないので、7だけで考える
≪x=7を、十の位の式に代入する≫
7+2=9
よって、
97 ※問題に合う
≪答≫ 97
【練習問題6】
連続する2つの自然数がある。
それぞれを2乗した数の和は61である。
この2つの数を求めなさい。
≪小さい方の数をxとする≫
小さい数 ⇒ x
大きい数 ⇒ x+1
≪式をつくる≫
x2+(x+1)2=61
≪展開・移項する≫
x2+(x+1)2=61
x2+x2+2x+1=61
2x2+2x-60=0
≪両辺を2で割る≫
x2+x-30=0
≪因数分解する≫
(x+6)(x-5)=0
x+6=0、またはx-5=0
よって、
x=-6, x=5
※-6は問題(自然数)に合わないので、5だけで考える
≪x=5を、大きい数の式に代入する≫
5+1=6
よって、
6 ※問題に合う
≪答≫ 5,6
【練習問題7】
連続する3つの正の整数がある。
いちばん大きい数といちばん小さい数の積は、3つの数の和に4をかけた数より12小さい。
この3つの数を求めなさい。
≪真ん中の数をxとする≫
小さい数 ⇒ x-1
真ん中の数 ⇒ x
大きい数 ⇒ x+1
≪式をつくる≫
(x+1)(x-1)=4{(x+1)+x+(x-1)}-12
≪展開・移項する≫
(x+1)(x-1)=4{(x+1)+x+(x-1)}-12
x2-1=4×3x-12
x2-1=12x-12
x2-12x+11=0
≪因数分解する≫
(x-1)(x-11)=0
x-1=0、またはx-11=0
よって、
x=1, x=11
≪x=1を、大きい数・小さい数の式に代入する≫
1+1=2, 1-1=0
よって、3つの数は
0,1,2 ※問題(正の整数)に合わない
≪x=11を、大きい数・小さい数の式に代入する≫
11+1=12, 11-1=10
よって、3つの数は
10,11,12 ※問題に合う
≪答≫ 10,11,12
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