勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

~ 中学3年 数学 ~

Lesson 21   二次方程式の利用(1)

第3章 二次方程式

<前:L21- 二次方程式の利用(1) の問題   L22- 二次方程式の利用(2) の問題:次>


【練習問題1】
2つの正の整数があり、その差は3で積は40である。
2つの数を求めなさい。

    ≪大きい方の数を,小さい方の数をとする≫
      2数の差 ⇒ =3
      2数の積 ⇒ =40

    ≪差の式を移項し、積の式に代入して展開する≫
      =3
      +3

      (+3)×=40
      2+3-40=0

    ≪因数分解する≫
      (+8)(-5)=0

      +8=0、または-5=0
      よって、
      =-8, =5
       ※-8は問題(正の整数)に合わないので、5だけで考える

    ≪=5を、差か積の式に代入し、大きい方の数を求める≫
      =3
      =8  ※問題に合う

    ≪答≫ 8,5

【練習問題2】
ある自然数から3を引いた数に、もとの自然数をかけると54になる。
この自然数を求めなさい。

    ≪自然数をとする≫
      (-3)×=54

    ≪展開・移項する≫
      2-3-54=0

    ≪因数分解する≫
      (+6)(-9)=0

      +6=0、または-9=0
      よって、
      =-6, =9
       ※-6は問題(自然数)に合わない。

    ≪答≫ 9

【練習問題3】
ある自然数を2乗して8を引こうとして、誤って2倍して8を引いてしまったところ正解よりも35小さくなった。
ある自然数を求めなさい。

    ≪ある自然数をとして式をつくる≫
      2-8=2-8+35

    ≪移項する≫
      2-8=2-8+35
      2-8=2+27
      2-2-35=0

    ≪因数分解する≫
      (+5)(-7)=0

      +5=0、または-7=0
      よって、
      =-5, =7
       ※-5は問題(自然数)に合わない。

    ≪答≫ 7

【練習問題4】
十の位の数が一の位の数より4小さい2ケタの自然数がある。
この自然数の十の位と一の位の積は、その自然数より16小さい。
この自然数を求めなさい。

    ≪一の位の数をとする≫
      一の位 ⇒ 
      十の位 ⇒ -4
      自然数 ⇒ 10(-4)+

    ≪式をつくる≫
      -4)={10(-4)+}-16

    ≪展開・移項する≫
      -4)={10(-4)+}-16
      2-4={10-40+}-16
      2-4=11-56
      2-15+56=0

    ≪因数分解する≫
      (-7)(-8)=0

      -7=0、または-8=0
      よって、
      =7, =8

    ≪=7,=8を、十の位の式に代入する≫
      7-4=3, 8-4=4
      よって、
      37 と 48
       ※2数とも問題に合う

    ≪答≫ 37,48

【練習問題5】
十の位の数が一の位の数より2大きい2ケタの自然数がある。
この自然数の十の位と一の位の積は、十の位と一の位の数の和に4をかけた数より1小さい。
この自然数を求めなさい。

    ≪一の位の数をとする≫
      一の位 ⇒ 
      十の位 ⇒ +2
      自然数 ⇒ 10(+2)+

    ≪式をつくる≫
      +2)=4{(+2)+}-1

    ≪展開・移項する≫
      +2)=4{(+2)+}-1
      2+2=4{2+2}-1
      2+2=8+7
      2-6-7=0

    ≪因数分解する≫
      (+1)(-7)=0

      +1=0、または-7=0
      よって、
      =-1, =7
       ※-1は問題に合わないので、7だけで考える

    ≪=7を、十の位の式に代入する≫
      7+2=9
      よって、
      97  ※問題に合う

    ≪答≫ 97

【練習問題6】
連続する2つの自然数がある。
それぞれを2乗した数の和は61である。
この2つの数を求めなさい。

    ≪小さい方の数をとする≫
      小さい数 ⇒ 
      大きい数 ⇒ +1

    ≪式をつくる≫
      2+(+1)2=61

    ≪展開・移項する≫
      2+(+1)2=61
      22+2+1=61
      22+2-60=0

    ≪両辺を2で割る≫
      2-30=0

    ≪因数分解する≫
      (+6)(-5)=0

      +6=0、または-5=0
      よって、
      =-6, =5
       ※-6は問題(自然数)に合わないので、5だけで考える

    ≪=5を、大きい数の式に代入する≫
      5+1=6
      よって、
      6  ※問題に合う

    ≪答≫ 5,6

【練習問題7】
連続する3つの正の整数がある。
いちばん大きい数といちばん小さい数の積は、3つの数の和に4をかけた数より12小さい。
この3つの数を求めなさい。

    ≪真ん中の数をとする≫
      小さい数 ⇒ -1
      真ん中の数 ⇒ 
      大きい数 ⇒ +1

    ≪式をつくる≫
      (+1)(-1)=4{(+1)++(-1)}-12

    ≪展開・移項する≫
      (+1)(-1)=4{(+1)++(-1)}-12
      2-1=4×3-12
      2-1=12-12
      2-12+11=0

    ≪因数分解する≫
      (-1)(-11)=0

      -1=0、または-11=0
      よって、
      =1, =11

    ≪=1を、大きい数・小さい数の式に代入する≫
      1+1=2, 1-1=0
      よって、3つの数は
      0,1,2  ※問題(正の整数)に合わない

    ≪=11を、大きい数・小さい数の式に代入する≫
      11+1=12, 11-1=10
      よって、3つの数は
      10,11,12  ※問題に合う

    ≪答≫ 10,11,12

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