中学３年数学練習問題　二次方程式/平方根を利用した解き方(解答)

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二次方程式と平方根

勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

～　中学３年　数学　～

Lesson 18　　　二次方程式と平方根

第３章　二次方程式

＜前：Ｌ１８- 二次方程式と平方根の問題　　Ｌ１９- 二次方程式の解の公式の問題：次＞

【練習問題１】
以下の二次方程式を解きなさい。

［１］　ｘ²＝１６
　　　　ｘ＝±４

［２］　ｘ²＝７
　　　　ｘ＝± $平方根$ ７

［３］　３ｘ²＝２７
　　　　ｘ²＝９
　　　　ｘ＝±３

［４］　４ｘ²＝１
　　　　ｘ²＝１４
　　　　ｘ＝±１２

【練習問題２】
以下の二次方程式を解きなさい。

［１］　ｘ²－２５＝０
　　　　ｘ²＝２５
　　　　ｘ＝±５

［２］　ｘ²－８＝０
　　　　ｘ²＝８
　　　　ｘ＝± $平方根$ ８
　　　　ｘ＝±２ $平方根$ ２

［３］　９ｘ²－４＝０
　　　　９ｘ²＝４
　　　　　ｘ²＝４９
　　　　　ｘ＝±２３

［４］　２ｘ²－５＝０
　　　　２ｘ²＝５
　　　　　ｘ²＝５２
　　　　　ｘ＝± $平方根$ ５ $平方根$ ２
　　　　　ｘ＝± $平方根$ １０２

【練習問題３】
以下の二次方程式を解きなさい。

［１］　（ｘ－２）²＝２５
　　　　ｘ－２＝±５
　　　　　　ｘ＝２±５
　　　　よって、
　　　　ｘ＝７，　ｘ＝－３

［２］　（ｘ＋４）²－４９＝０
　　　　（ｘ＋４）²＝４９
　　　　　　ｘ＋４＝±７
　　　　　　　　　ｘ＝－４±７
　　　　よって、
　　　　ｘ＝３，　ｘ＝－１１

［３］　（ｘ＋３）²－７＝０
　　　　（ｘ＋３）²＝７
　　　　　　ｘ＋３＝± $平方根$ ７
　　　　　　　　　ｘ＝－３± $平方根$ ７

［４］　（ｘ－１３）²－４９＝０
　　　　（ｘ－１３）²＝４９
　　　　　　ｘ－１３＝±２３
　　　　　　ｘ＝１３±２３
　　　　よって、
　　　　ｘ＝１，　ｘ＝－１３

【練習問題４】
以下の□と☆にあてはまる数字を求めなさい。

［１］　ｘ²＋６ｘ＋□＝（ｘ＋☆）²

　　　　※　ｘ²＋２ａｘ＋ａ²＝（ｘ＋ａ）² を手がかりに解く

　　　　≪ａ（☆）を求める≫
　　　　　２ａｘ＝６ｘなので、
　　　　　ａ＝３

　　　　≪ａ²（□）を求める≫
　　　　　３²＝９

　　　　≪答≫　□＝９，　☆＝３

［２］　ｘ²＋１６ｘ＋□＝（ｘ＋☆）²

　　　　※　ｘ²＋２ａｘ＋ａ²＝（ｘ＋ａ）² を手がかりに解く

　　　　≪ａ（☆）を求める≫
　　　　　２ａｘ＝１６ｘなので、
　　　　　ａ＝８

　　　　≪ａ²（□）を求める≫
　　　　　８²＝６４

　　　　≪答≫　□＝６４，　☆＝８

［３］　ｘ²－１０ｘ＋□＝（ｘ－☆）²

　　　　※　ｘ²－２ａｘ＋ａ²＝（ｘ－ａ）² を手がかりに解く

　　　　≪ａ（☆）を求める≫
　　　　　－２ａｘ＝－１０ｘなので、
　　　　　ａ＝５

　　　　≪ａ²（□）を求める≫
　　　　　５²＝２５

　　　　≪答≫　□＝２５，　☆＝５

［４］　ｘ²－１８ｘ＋□＝（ｘ－☆）²

　　　　※　ｘ²－２ａｘ＋ａ²＝（ｘ－ａ）² を手がかりに解く

　　　　≪ａ（☆）を求める≫
　　　　　－２ａｘ＝－１８ｘなので、
　　　　　ａ＝９

　　　　≪ａ²（□）を求める≫
　　　　　９²＝８１

　　　　≪答≫　□＝８１，　☆＝９

【練習問題５】
以下の二次方程式を解きなさい。

［１］　ｘ²＋４ｘ＝１

　　　※　両辺にｘの係数４を２で割った数の２乗をたす　⇒　４
　　　　ｘ²＋４ｘ＋４＝１＋４
　　　　ｘ²＋４ｘ＋４＝５
　　　　　　（ｘ＋２）²＝５
　　　　　　　　ｘ＋２＝± $平方根$ ５
　　　　　　　　　　　ｘ＝－２± $平方根$ ５

［２］　ｘ²－６ｘ－３＝０

　　　　ｘ²－６ｘ＝３
　　　※　両辺にｘの係数－６を２で割った数の２乗をたす　⇒　９
　　　　ｘ²－６ｘ＋９＝３＋９
　　　　ｘ²－６ｘ＋９＝１２
　　　　　　（ｘ－３）²＝１２
　　　　　　　　ｘ－３＝± $平方根$ １２
　　　　　　　　　　　ｘ＝３±２ $平方根$ ３

［３］　ｘ²＋１０ｘ－２＝０

　　　　ｘ²＋１０ｘ＝２
　　　※　両辺にｘの係数１０を２で割った数の２乗をたす　⇒　２５
　　　　ｘ²＋１０ｘ＋２５＝２＋２５
　　　　ｘ²＋１０ｘ＋２５＝２７
　　　　　　（ｘ＋５）²＝２７
　　　　　　　　ｘ＋５＝± $平方根$ ２７
　　　　　　　　　　　ｘ＝－５±３ $平方根$ ３

［４］　ｘ²－５ｘ＋３＝０

　　　　ｘ²－５ｘ＝－３
　　　※　両辺にｘの係数－５を２で割った数の２乗をたす　⇒　２５４
　　　　ｘ²－５ｘ＋２５４＝－３＋２５４
　　　　ｘ²－５ｘ＋２５４＝１３４
　　　　　　（ｘ－５２）²＝１３４
　　　　　　　　ｘ－５２＝± $平方根$ １３ $平方根$ ４
　　　　　　　　　　　ｘ＝５２± $平方根$ １３２
　　　　　　　　　　　ｘ＝５± $平方根$ １３２

【練習問題６】
（ｘ＋ｍ）²＝ｎの解の１つが２－３のとき、もう１つの解とｍ，ｎの値を求めなさい。

　　　　ｘ＋ｍ＝± $平方根$ ｎ
　　　　　　　　ｘ＝－ｍ± $平方根$ ｎ

　　　　解の１つが２－３なので、
　　　　－ｍ＝２，　ｎ＝３
　　　　よって、
　　　　ｍ＝－２，　ｎ＝３

　　　　解のもう１つは、ｘ＝－ｍ＋ $平方根$ ｎに、ｍ＝－２，ｎ＝３を代入したものになるので、
　　　　－（－２）＋３＝２＋３

　　　　≪答≫　もう１つの解：２＋３，　ｍ＝－２，　ｎ＝３