中学生 勉強なんて 怖くない
～ 勉強が苦手な中学生のために ～
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勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。
～ 中学２年 数学 ～
Lesson 8 文字式の利用（整数の性質）
第１章 式の計算
＜前：Ｌ８- 文字式の利用(整数の性質) の問題 Ｌ９- 文字式の利用(図形の性質) の問題：次＞
【練習問題１】
２つの奇数の和は偶数である。
その理由を文字を使った式を用いて説明しなさい。
≪答≫
２つの奇数は、自然数を表す文字ｍとｎを使うと、
２ｍ＋１、 ２ｎ＋１
と表される。
この２つの自然数の和は、
（２ｍ＋１）＋（２ｎ＋１）
＝２ｍ＋２ｎ＋２
＝２（ｍ＋ｎ＋１）
で、「２×自然数」の形となる。
したがって、２つの奇数の和は偶数である。
【練習問題２】
連続する３つの整数の和は３の倍数になる。
その理由を文字を使った式を用いて説明しなさい。
≪答≫
ｍを整数として、連続する３つの整数は、
ｍ、 ｍ＋１、 ｍ＋２
と、表される。
この３つの整数の和は、
ｍ＋（ｍ＋１）＋（ｍ＋２）
＝３ｍ＋３
＝３（ｍ＋１）
で、「３×整数」の形となる。
したがって、連続する３つの整数の和は３の倍数となる。
【練習問題３】
奇数から始まる連続する３つの整数の和は、６の倍数になる。
その理由を文字を使った式を用いて説明しなさい。
≪答≫
ｎを整数として、奇数から始まる連続する３つの整数は、
２ｎ＋１、 ２ｎ＋２、 ２ｎ＋３
と、表される。
この３つの整数の和は、
（２ｎ＋１）＋（２ｎ＋２）＋（２ｎ＋３）
＝６ｎ＋６
＝６（ｎ＋１）
で、「６×整数」の形となる。
したがって、奇数から始まる連続する３つの整数の和は６の倍数となる。
【練習問題４】
奇数と偶数の２つの自然数があり、奇数のほうが大きいとき、その差は奇数になる。
その理由を文字を使った式を用いて説明しなさい。
≪答≫
ｍとｎをｍ＜ｎの自然数とすると、
偶数は２ｍ、 奇数は２ｎ＋１
と、表される。
２つの数の差（奇数－偶数）は、
（２ｎ＋１）－２ｍ
＝２ｎ－２ｍ＋１
＝２（ｎ－ｍ）＋１
となる。
「ｎ－ｍ」は整数なので、「２（ｎ－ｍ）＋１」は奇数である。
したがって、奇数と偶数の２つの自然数の差は、奇数である。
【練習問題５】
十の位と一の位の数の和が９になる２ケタの整数は９で割り切れる。
その理由を文字を使った式を用いて説明しなさい。
≪答≫
十の位の数をａ、一の位の数をｂとすると、２ケタの整数は、
１０ａ＋ｂ
と、表される。
十の位と一の位の数の和は９なので、
ａ＋ｂ＝９
となる。
この数「１０ａ＋ｂ」は、
９ａ＋ａ＋ｂ
と、分けることができる。
この式に、ａ＋ｂ＝９を当てはめると、
９ａ＋（ａ＋ｂ）
＝９ａ＋９
＝９（ａ＋１）
となる。
「ａ＋１」は整数なので、「９（ａ＋１）」は９で割り切れる。
したがって、十の位と一の位の数の和が９になる２ケタの整数は９で割り切れる。
【練習問題６】
一の位が０ではない２ケタの整数と、その整数の十の位と一の位の数を入れかえた整数との和は、１１で割り切れる。
その理由を文字を使った式を用いて説明しなさい。
≪答≫
１つめの整数の十の位をａ、一の位をｂとすると、この数は、
１０ａ＋ｂ
と表される。
また、十の位と一の位の数をいれかえた整数は、
１０ｂ＋ａ
と表される。
この２つの整数の和は、
（１０ａ＋ｂ）＋（１０ｂ＋ａ）
＝１１ａ＋１１ｂ
＝１１（ａ＋ｂ）
で、「１１×整数」の形となる。
したがって、１１で割り切れる。
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| 43 | 44 | 45 | 46 | ・ | ・ | ・ |
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【練習問題７】
右表は、自然数を１から順に横に７つずつ並べたものである。
この表の赤色で示したように、右上がりの斜めに３つ並んだ数の和は、斜めに並んだ３つの数がどこであっても３の倍数になる。
その理由を文字を使った式を用いて説明しなさい。
≪答≫
３つの自然数は、真ん中の数をｎとすると、数の小さい順に、
（ｎ－６）、 ｎ、 （ｎ＋６）
と、表される。
この３つの自然数の和は、
（ｎ－６）＋ｎ＋（ｎ＋６）
＝３ｎ
となる。
ｎは自然数なので、「３ｎ」は３の倍数となる。
したがって、斜めに３つ並んだ数の和は３の倍数となる。
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