中学生 勉強なんて 怖くない
～ 勉強が苦手な中学生のために ～
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勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。
～ 中学３年 数学 ～
『 第１章 式の展開と因数分解 』 の復習テスト
第１章 式の展開と因数分解
＜前：『 第１章 式の展開と因数分解 』 の復習テスト の問題 Ｌ９- 平方根の基礎(１) の問題：次＞
【練習問題１】 （ 参照 ： Lesson1 ）
以下の計算をしなさい。
［１］ －３ｘ（２ｘ－４ｙ）
＝ －６ｘ2＋１２ｘｙ
［２］ （－６ａｂ＋８ｂ）÷２ｂ
＝ －３ａ＋４
［３］ （２ｘ2ｙ－３ｘｙ）÷１４ｙ
＝ （２ｘ2ｙ－３ｘｙ）×４ｙ
＝ ８ｘ2－１２ｘ
［４］ －２ａ（４ａ＋５）＋５ａ（２ａ－３）
＝ －８ａ2－１０ａ＋１０ａ2－１５ａ
＝ ２ａ2－２５ａ
【練習問題２】 （ 参照 ： Lesson2 Lesson3 Lesson4 ）
以下の式を展開しなさい。
［１］ （ｘ－３）（ｘ＋５）
＝ ｘ2＋（－３＋５）ｘ＋（－３）×５
＝ ｘ2＋２ｘ－１５
［２］ （２ａ＋７）（２ａ－７）
＝ ４ａ2－４９
［３］ （３ｘ－１２）2
＝ （３ｘ）2 － ２×１２×３ｘ ＋ （１２）2
＝ ９ｘ2－３ｘ＋１４
［４］ （２３ａ－３ｂ）2
＝ （２３ａ）2 － ２×２３ａ×３ｂ ＋ （３ｂ）2
＝ ４９ａ2－４ａｂ＋９ｂ2
【練習問題３】 （ 参照 ： Lesson4 ）
以下の式を工夫して展開・計算しなさい。
［１］ （３ａ＋２ｂ＋５）（３ａ＋２ｂ－５）
≪３ａ＋２ｂをＭとおく≫
（Ｍ＋５）（Ｍ－５）
＝ Ｍ2－２５
≪Ｍを３ａ＋２ｂにもどす≫
（３ａ＋２ｂ）2－２５
＝ ９ａ2＋１２ａｂ＋４ｂ2－２５
［２］ （ｘ＋２ｙ－３）（ｘ－２ｙ＋３）
＝ （ｘ＋２ｙ－３）（ｘ－（２ｙ－３））
≪２ｙ－３をＭとおく≫
（ｘ＋Ｍ）（ｘ－Ｍ）
＝ ｘ2－Ｍ2
≪Ｍを２ｙ－３にもどす≫
ｘ2－（２ｙ－３）2
＝ ｘ2－（４ｙ2－１２ｙ＋９）
＝ ｘ2－４ｙ2＋１２ｙ－９
［３］ ４９８2
＝ （５００－２）2
＝ ５００2－２×２×５００＋２2
＝ ２５００００－２０００＋４
＝ ２４８００４
［４］ ９８×９７
＝ （１００－２）（１００－３）
＝ １００2＋｛（－２－３）×１００｝＋（－２）×（－３）
＝ １００００－５００＋６
＝ ９５０６
【練習問題４】 （ 参照 ： Lesson5 ）
以下の数は、それぞれどのような数の２乗になっているか答えなさい。
［１］ ３２４
３２４を素因数分解すると、「２2×３4」 となる。
２2×３4
＝ ２2×３2×３2
＝ （２×３×３）2
＝ １８2
≪答≫ １８
［２］ ７２９
７２９を素因数分解すると、「３6」 となる。
３6
＝ ３2×３2×３2
＝ （３×３×３）2
＝ ２７2
≪答≫ ２７
【練習問題５】 （ 参照 ： Lesson5 ）
「１５０」にできるだけ小さい自然数Ａをかけて、ある整数Ｂの２乗になるようにしたい。
それぞれ、ＡとＢを求めなさい。
１５０を素因数分解すると、「２×３×５2」 となる。
２×３×５2に ２×３ をかければ、
２×３×５2×２×３
＝ ２2×３2×５2
＝ （２×３×５）2
＝ ３０2
となる。
≪答≫ Ａ： ６ 、 Ｂ： ３０
【練習問題６】 （ 参照 ： Lesson6 Lesson7 ）
以下の式を因数分解しなさい。
［１］ １２ｘ2ｙ－８ｘｙ2
＝ ４ｘｙ（３ｘ－２ｙ）
［２］ ａ2－３ａ－４０
＝ （ａ＋５）（ａ－８）
［３］ －３２ｘ2＋５０ｙ2
＝ －２（１６ｘ2－２５ｙ2）
＝ －２（４ｘ＋５ｙ）（４ｘ－５ｙ）
［４］ （ａ－３）2－９（ａ－３）＋１４
≪ａ－３をＸとおく≫
Ｘ2－９Ｘ＋１４
＝ （Ｘ－２）（Ｘ－７）
≪Ｘをａ－３にもどす≫
（ａ－３－２）（ａ－３－７）
＝ （ａ－５）（ａ－１０）
【練習問題７】 （ 参照 ： Lesson7 ）
因数分解の公式を使って、以下の式を計算しなさい。
［１］ ３２2－２８2
＝ （３２＋２８）（３２－２８）
＝ ６０×４
＝ ２４０
［２］ １６．５2－３．５2
＝ （１６．５＋３．５）（１６．５－３．５）
＝ ２０×１３
＝ ２６０
| １ | ５ | ９ | 13 | 17 |
| ７ | 11 | 15 | 19 | 23 |
| 13 | 17 | 21 | 25 | 29 |
| 19 | 23 | 27 | 31 | 35 |
| 25 | 29 | 33 | 37 | 41 |
| 31 | 35 | ・ | ・ | ・ |
【練習問題８】 （ 参照 ： Lesson8 ）
右表は、左上の１を軸として、横に４ずつ、縦に６ずつ数を増やしながら奇数を並べたものである。
この中から、右の赤色で示した２数のように、縦に並んだ２数の大きい方の数の２乗から小さい方の数の２乗の差を求めると、必ず１２で割り切れる。
このことを文字を使って証明しなさい。
≪答≫
ｎを整数とすると、
小さい方の数は２ｎ－１
大きい方の数は２ｎ＋５
と表される。
大きい方の数の２乗から小さい方の数の２乗をひいた差は、
（２ｎ＋５）2－（２ｎ－１）2
＝ ４ｎ2＋２０ｎ＋２５－（４ｎ2－４ｎ＋１）
＝ ４ｎ2＋２０ｎ＋２５－４ｎ2＋４ｎ－１
＝ ２４ｎ＋２４
＝ １２（２ｎ＋２）
で、１２×整数の形となる。
したがって、表の縦に並んだ２数の大きい方の数の２乗から小さい方の数の２乗をひいた差は、
１２で割り切れる。
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