中学３年数学練習問題　ｘの２乗に比例する関数/事象と関数の解答

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事象と関数の活用

勉強しないで後悔するくらいなら、
後悔してもいいから、勉強しよう。
勉強すれば、必ず力になる。
勉強すれば、必ず自分のためになる。
勉強すれば、後悔なんてしない。

～　中学３年　数学　～

Lesson 28　　　事象と関数の活用

第４章　ｘの２乗に比例する関数

＜前：Ｌ２８- 事象と関数の活用の問題の問題　　『第４章ｘの２乗に比例する関数』の復習テストの問題：次＞

【練習問題１】
空中で物を落とすと、落ち始めてからｘ秒後に落ちる距離をｙｍとすると、ｙ＝５ｘ²という式で表すことができる。
このとき、以下の質問に答えなさい。

［１］　落下し始めて８秒後の落下距離を求めなさい。

　　≪ｙ＝５ｘ²に、ｘ＝８を代入する≫
　　　ｙ＝５×８²
　　　ｙ＝３２０

　　　≪答≫　３２０ｍ

［２］　落下し始めて１０秒後～１２秒後の落下距離を求めなさい。

　　≪ｙ＝５ｘ²に、ｘ＝１０を代入する≫
　　　ｙ＝５×１０²
　　　ｙ＝５００

　　≪ｙ＝５ｘ²に、ｘ＝１２を代入する≫
　　　ｙ＝５×１２²
　　　ｙ＝７２０

　　　７２０－５００＝２２０

　　　≪答≫　２２０ｍ

［３］　高さ１８０ｍのところから落としたら、地上に着くまで何秒かかるか求めなさい。

　　≪ｙ＝５ｘ²に、ｙ＝１８０を代入する≫
　　　１８０＝５×ｘ²
　　　ｘ＝±６

　　　ｘ≧０で、ｘ＝－６は条件に合わない

　　　≪答≫　６秒

［４］　高さ２００ｍのところから落としたら、地上に着くまでおよそ何秒かかるか求めなさい。
　　　　ただし、 $平方根$ １０＝３．２として、小数第１位まで求めなさい。

　　≪ｙ＝５ｘ²に、ｙ＝２００を代入する≫
　　　２００＝５×ｘ²
　　　ｘ²＝４０
　　　ｘ＝±２ $平方根$ １０

　　　ｘ≧０で、ｘ＝－２ $平方根$ １０は条件に合わないので、
　　　２ $平方根$ １０＝２×３．２＝６．４

　　　≪答≫　約６．４秒

$ｘの２乗に比例する関数$

【練習問題２】
何人かでフットサル場に行った。
そのコートの利用料を人数で割ると２時間までは一人１０００円で、２時間を越えると３時間までは１３００円、４時間までは１６００円・・・のように３００円ずつ追加される。
利用時間をｘ時間、一人分の利用料をｙ円として、以下の質問に答えなさい。

［１］　ｘとｙの関係を表すグラフをかきなさい。
　　　　ただし、０≦ｘ≦５とし、グラフの線が含まれる場合は●、
　　　　含まれない場合は○で表しなさい。

　　　≪答≫　右図参照

［２］　料金は時間の関数といえますか。

　　　≪答≫　いえる

［３］　ｙ＝２５００のときのｘの変域を求めなさい。

　　　２時間を越えてからの料金は
　　　２５００－１０００＝１５００　なので、
　　　１５００÷３００＝５

　　　２＋５＝７
　　　７時間までの1時間が２５００円である

　　　≪答≫　６＜ｘ≦７

［４］　コートを８時間利用すると、全員分の料金は４２０００円になる。
　　　　何人で借りたか求めなさい。

　　≪人数をｘ人として式をたてる≫
　　　１０００ｘ＋（３００×６）ｘ＝４２０００
　　　ｘ＝１５

　　　≪答≫　１５人

【練習問題３】
傾きが一定の坂道で、ユウマ君はボールを転がすと同時に毎秒１ｍの速さで坂道を下り始めた。
ボールは転がり始めてからｘ秒間に１４ｘ²ｍ進むとして、以下の質問に答えなさい。

［１］　ボールが転がり始めて１０秒後の進んだ距離を求めなさい。

　　≪１４ｘ²にｘ＝１０を代入する≫
　　　１４×１０²＝２５

　　　≪答≫　２５ｍ

［２］　ユウマ君は何秒後にボールに追い抜かれるか求めなさい。

　　ユウマ君の進む距離＝秒速１ｍ×ｘ秒＝ｘ

　　ユウマ君がボールに追い抜かれる瞬間＝同じ距離を進んだ　ということなので、
　　１４ｘ²＝ｘ

　　これを解くと、
　　ｘ＝０，ｘ＝４

　　ｘ＞０で、ｘ＝０は条件に合わないので、
　　ｘ＝４

　　　≪答≫　４秒後

［３］　ボールが転がり始めて４秒後から８秒後までのボールの平均速度を求めなさい。

　　≪４秒後の距離≫
　　１４×４²＝４
　　４ｍ

　　≪８秒後の距離≫
　　１４×８²＝１６
　　１６ｍ

　　平均の速さ＝進んだ距離かかった時間
　　１６－４８－４＝３

　　　≪答≫　秒速３ｍ

$ｘの２乗に比例する関数$

【練習問題４】
右図のように、合同な２つの直角二等辺三角形△ＡＢＣと△ＰＱＲが同じ直線上に並んでいる。
ＢＣ＝ＱＲ＝１０ｃｍで、△ＡＢＣが直線に沿って矢印の方向に毎秒２ｃｍの速さで動く。
このとき、以下の質問に答えなさい。

$ｘの２乗に比例する関数$

［１］　点Ｃが点Ｑの位置にきたときからｘ秒後の△ＡＢＣと△ＰＱＲの重なった
　　　　部分の面積をｙｃｍ²とする。
　　　　点Ｃが点Ｑから点Ｒまで動くとき、ｙをｘの式で表しなさい。

　　ｘ秒後に重なる部分の三角形の底辺は、２ｘｃｍなので、
　　ｙ＝２ｘ×２ｘ÷２
　　ｙ＝２ｘ²

　　　≪答≫　ｙ＝２ｘ²

［２］　点Ｃが点Ｑの位置にきたときから３秒後の△ＡＢＣと△ＰＱＲの重なった
　　　　部分の面積を求めなさい。

　　≪ｙ＝２ｘ²にｘ＝３を代入する≫
　　ｙ＝２×３²
　　ｙ＝１８

　　　≪答≫　１８ｃｍ²

［３］　［１］の関数でｘとｙの変域を求め、グラフにかきなさい。

　　点Ｃが点Ｒに重なるまでの時間は、
　　２ｘ＝１０
　　ｘ＝５

　　よって、ｘの変域は、
　　０≦ｘ≦５

　　このとき、ｙの変域は、
　　０≦ｙ≦５０

　　　≪答≫　ｘの変域：０≦ｘ≦５，　ｙの変域：０≦ｙ≦５０，　グラフは右図参照

［４］　重なる部分の面積が△ＡＢＣの面積の半分になるのは、点Ｃが点Ｑを
　　　　移動し始めたときから何秒後か、小数第１位まで求めなさい。

　　△ＡＢＣの面積の半分の面積は、
　　１０×１０÷２÷２＝２５
　　２５ｃｍ²

　　２５＝２×ｘ²
　　ｘ²＝１２．５
　　ｘ＝± $平方根$ １２．５

　　ｘ≧０なので、
　　ｘ＝ $平方根$ １２．５

　　 $平方根$ １２．５＝３．５３５・・・

　　　≪答≫　約３．５秒後

$ｘの２乗に比例する関数$

【練習問題５】
右図のように同じ大きさのブロックを左から順に１列目１個，２列目３個，３列目５個・・・と規則的に並べていく。
このとき、以下の質問に答えなさい。

［１］　ｘ列目までのブロックの合計個数をｙ個として、ｙをｘの式で表しなさい。

　　　≪答≫　ｙ＝ｘ²

［２］　８列目まで並べたときのブロックの合計個数を求めなさい。

　　≪ｙ＝ｘ²にｘ＝８を代入する≫
　　ｙ＝８²
　　ｙ＝６４

　　　≪答≫　６４個

［３］　ブロックの合計個数が２２５個のとき、ブロックを何列目まで並べたか求めなさい。

　　≪ｙ＝ｘ²にｙ＝２２５を代入する≫
　　２２５＝ｘ²
　　ｘ＝±１５

　　ｘ＞０なので、
　　ｘ＝１５

　　　≪答≫　１５列目